Enunciado

Use os gráficos de f e g na figura a seguir para encontrar os limites que existirem. Se o limite não existir, explique por quê.

(a) lim x → 2 ⁡ [ f x + g ( x ) ] (b) lim x → 2 + ⁡ [ f x + g ( x ) ]

(c) lim x → 0 + ⁡ [ f x + g ( x ) ] (d)   lim x → 0 - ⁡ [ f x + g ( x ) ]

(e) lim x → 2 ⁡ f x 1 + g ( x ) (f) lim x → 2 ⁡ 1 + g ( x ) f ( x )

(g) lim x → 0 + ⁡ f ( x ) (h) lim x → 0 - ⁡ f ( x )

Passo 1

Aqui não tem dificuldade, apenas precisamos calcular os limites, considerando algumas das suas propriedades:

O limite de uma soma/subtração equivale à soma/subtração dos limites; o limite de um produto é o produto dos limites; o limite de um quociente é o quociente do limite – contanto que o limite não seja zero, etc.

Fora isso, agora temos o recurso dos gráficos pra nos ajudar no cálculo dos limites também! Por isso precisamos lembrar que, pra um limite existir, os limites laterais precisam existir e serem iguais, e valerem o mesmo que a função calculada no ponto!

Assim, já somos capazes de calcular todos esses limites!

Passo 2

(a) lim x → 2 ⁡ [ f x + g ( x ) ] = l i m x → 2 f x + l i m x → 2 g x =

= ∄ + 0 = ∄

O limite para f ( x ) não existe pois a função é descontínua em x = 2 .

Passo 3

(b) lim x → 2 + ⁡ [ f x + g ( x ) ] = l i m x → 2 + f x + l i m x → 2 + g x =

= 0 + 0 = 0

Passo 4

(c) lim x → 0 + ⁡ [ f x + g ( x ) ] = l i m x → 0 + f x + l i m x → 0 + g x =

= - 2 + 2 = 0

Passo 5

(d) lim x → 0 - ⁡ [ f x + g ( x ) ] = l i m x → 0 - f x + l i m x → 0 - g x =

= 1 + 2 = 3

Passo 6

(e) lim x → 2 ⁡ f x 1 + g ( x ) = l i m x → 2   f ( x ) 1 + l i m x → 2   g ( x ) =

= ∄ 1 + 0 = ∄

O limite para f ( x ) não existe pois a função é descontínua em x = 2 .

Passo 7

(f) lim x → 2 ⁡ 1 + g ( x ) f ( x ) = 1 + l i m x → 2   g ( x ) l i m x → 2   f ( x ) =

1 + 0 ∄ = ∄

O limite para f ( x ) não existe pois a função é descontínua em x = 2 .

Passo 8

(g) lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 + f ( x ) =

= - 2 ∉ R

Passo 9

(h) lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 - f ( x ) =

= 1 = 1

Resposta

(a) (b) 0

(c) 0 (d)   3

(e) (f)

(g) - 2 ∉ R (h) 1

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Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ; 1,4
Use um recurso computacional com capacidade para tratar de somatórios ou um CAS para obter um valor aproximado da área entre a curva y = f ( x ) e o intervalo especificado com n = 10 ,20e50 subinterva
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 9 - x 2 ; 0,3
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 4 - 1 4 x 2 ; 0,3
Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ;- 1 , 1