Calcule o volume dos sólidos descritos abaixo.
d) É limitado pelo cone , pelo cilindro e por .
Passo 1
Inicialmente, note que o cilindro descrito no enunciado não é um cilindro reto normal. Ele possui a base com a forma de uma cardioide, como mostra a figura abaixo.
Passo 2
O volume da região é:
vamos determinar . Passando para coordenadas cilíndricas, temos
Assim,
Sendo assim, temos que
O volume ficará:
Passo 3
Vamos calculara integral acima!
Calculando cada uma das integrais acima:
Fazendo . Dessa forma, segue que:
Voltando para , temos
Passo 4
Logo, o volume é
Observações:
- Na integral utilizamos o fato que .
- Na integral utilizamos a relação fundamental da trigonometria, ou seja, .
Resposta
O volume vale .