Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo. h) W = {(x , y , z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 >= 4 , x^2 + y^2 + (z - sqrt(2))^2 <= 2 , z <= sqrt(3 (x^2 + y^2))} Passo 1Vamos passar para coordenadas esféricas. Temos que: {[[x = r cos theta sin varphi],[y = r sin theta sin varphi],[z = r cos varphi]]) Assim, a primeira condição nos dá: x^2 + y^2 + z^2 >= 4 (r cos theta sin varphi)^2 + (r sin theta sin varphi)^2 + (r cos varphi)^2 >= 4 r^2 sin^2 varphi (cos^2 theta + sin^2 theta) + r^2 cos^2 varphi >= 4 r^2 (cos^2 varphi + sin^2 varphi) >= 4 r >= 2 A segunda nos dá: x^2 + y^2 + z^2 - 2 sqrt(2) z + 2 <= 2 x^2 + y^2 + z^2 - 2 sqrt(2) z <= 0 r^2 - 2 sqrt(2) r cos varphi <= 0 r (r - 2 sqrt(2) cos varphi) <= 0 r <= 2 sqrt(2) cos varphi Por fim, a terceira condição: r cos varphi <= sqrt(3 r^2 sin^2 varphi) r cos varphi <= sqrt(3) sin varphi r (sin varphi)/(cos varphi) >= (sqrt(3))/(3) tan varphi >= (sqrt(3))/(3) varphi >= (pi)/(6) Por fim, veja que 2 <= r <= 2 sqrt(2) cos varphi ⟹ 2 <= 2 sqrt(2) cos varphi cos varphi >= (sqrt(2))/(2) ⟹ varphi <= (pi)/(4) Finalmente, temos a nossa região em coordenadas esféricas: 2 <= r <= 2 sqrt(2) cos varphi , (pi)/(6) <= varphi <= (pi)/(4) , 0 <= theta <= 2 pi Passo 2Portanto, nosso volume vai ficar V = ∭_B^* r^2 sin varphi d r d theta d varphi V = int_0^(2 pi) int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) int_2^(2 sqrt(2) cos varphi) r^2 sin varphi d r d varphi d theta V = 2 pi int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi [(r^3)/(3)]_2^(2 sqrt(2) cos varphi) d varphi V = (2 pi)/(3) int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi (16 sqrt(2) cos^3 varphi - 8) d varphi V = (2 pi)/(3) int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) [16 sqrt(2) cos^3 varphi sin varphi - 8 sin varphi] d varphi V = (32 sqrt(2))/(3) pi int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi cos^3 varphi d varphi - (16)/(3) pi int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi d varphi Passo 3Para a primeira integral, seja u = cos varphi . Assim, {[[d u = - sin varphi d varphi],[varphi = (pi)/(6) ⟹ u = (sqrt(3))/(2)],[varphi = (pi)/(4) ⟹ u = (sqrt(2))/(2)]]) Logo, int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi cos^3 varphi d varphi = int_((sqrt(3))/(2))^((sqrt(2))/(2)) - u^3 d u = [(u^4)/(4)]_((sqrt(2))/(2))^((sqrt(3))/(2)) = (1)/(4) ((9)/(16) - (1)/(4)) = (5)/(64) Passo 4Para a segunda integral, temos int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi d varphi = [- cos varphi]_((pi)/(6))^((pi)/(4)) = [(sqrt(3))/(2) - (sqrt(2))/(2)] Finalmente, o volume será dado por: V = (5 sqrt(2))/(6) pi - ([8 sqrt(3) - 8 sqrt(2)])/(3) pi V = ((21 sqrt(2) - 16 sqrt(3)))/(6) pi RespostaO volume é V = (21 sqrt(2) - 16 sqrt(3))/(6) pi .MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule a integral iterada.int_0^1 int_x^(2 x) int_0^y 2 x y z d z d y d xEncontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano x + y = 4 e o cilindro y2 + 4z2 = 16Nos Exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre aregião determinadaF(x, y, z) = x + y – z sobre o sólido retangular no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planoCalcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ x 2 1 12 x z e - y 2 d y d x d zComo as substituições em integrais triplas são descritas comotransformações de regiões tridimensionais? Dê um exemplocom cálculo.Ver TambémVer Livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias VariáveisVer tudo sobre Integrais TriplasLista de exercícios de Integrais Triplas em Regiões GeraisVer exercício 5.11 - 2dVer exercício 6.5 - 5