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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 2h

Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.

h) W = {(x , y , z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 >= 4 , x^2 + y^2 + (z - sqrt(2))^2 <= 2 , z <= sqrt(3 (x^2 + y^2))}

Passo 1

Vamos passar para coordenadas esféricas. Temos que:

{[[x = r cos theta sin varphi],[y = r sin theta sin varphi],[z = r cos varphi]])

Assim, a primeira condição nos dá:

x^2 + y^2 + z^2 >= 4 (r cos theta sin varphi)^2 + (r sin theta sin varphi)^2 + (r cos varphi)^2 >= 4 r^2 sin^2 varphi (cos^2 theta + sin^2 theta) + r^2 cos^2 varphi >= 4 r^2 (cos^2 varphi + sin^2 varphi) >= 4 r >= 2

A segunda nos dá:

x^2 + y^2 + z^2 - 2 sqrt(2) z + 2 <= 2 x^2 + y^2 + z^2 - 2 sqrt(2) z <= 0 r^2 - 2 sqrt(2) r cos varphi <= 0 r (r - 2 sqrt(2) cos varphi) <= 0 r <= 2 sqrt(2) cos varphi

Por fim, a terceira condição:

r cos varphi <= sqrt(3 r^2 sin^2 varphi) r cos varphi <= sqrt(3) sin varphi r (sin varphi)/(cos varphi) >= (sqrt(3))/(3) tan varphi >= (sqrt(3))/(3) varphi >= (pi)/(6)

Por fim, veja que

2 <= r <= 2 sqrt(2) cos varphi ⟹ 2 <= 2 sqrt(2) cos varphi cos varphi >= (sqrt(2))/(2) ⟹ varphi <= (pi)/(4)

Finalmente, temos a nossa região em coordenadas esféricas:

2 <= r <= 2 sqrt(2) cos varphi , (pi)/(6) <= varphi <= (pi)/(4) , 0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Portanto, nosso volume vai ficar

V = ∭_B^* r^2 sin varphi d r d theta d varphi V = int_0^(2 pi) int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) int_2^(2 sqrt(2) cos varphi) r^2 sin varphi d r d varphi d theta V = 2 pi int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi [(r^3)/(3)]_2^(2 sqrt(2) cos varphi) d varphi V = (2 pi)/(3) int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi (16 sqrt(2) cos^3 varphi - 8) d varphi V = (2 pi)/(3) int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) [16 sqrt(2) cos^3 varphi sin varphi - 8 sin varphi] d varphi V = (32 sqrt(2))/(3) pi int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi cos^3 varphi d varphi - (16)/(3) pi int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi d varphi

Passo 3

Para a primeira integral, seja u = cos varphi . Assim,

{[[d u = - sin varphi d varphi],[varphi = (pi)/(6) ⟹ u = (sqrt(3))/(2)],[varphi = (pi)/(4) ⟹ u = (sqrt(2))/(2)]])

Logo,

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi cos^3 varphi d varphi = int_((sqrt(3))/(2))^((sqrt(2))/(2)) - u^3 d u = [(u^4)/(4)]_((sqrt(2))/(2))^((sqrt(3))/(2)) = (1)/(4) ((9)/(16) - (1)/(4)) = (5)/(64)

Passo 4

Para a segunda integral, temos

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sin varphi d varphi = [- cos varphi]_((pi)/(6))^((pi)/(4)) = [(sqrt(3))/(2) - (sqrt(2))/(2)]

Finalmente, o volume será dado por:

V = (5 sqrt(2))/(6) pi - ([8 sqrt(3) - 8 sqrt(2)])/(3) pi V = ((21 sqrt(2) - 16 sqrt(3)))/(6) pi

Resposta

O volume é V = (21 sqrt(2) - 16 sqrt(3))/(6) pi .

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