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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 32

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0   e   y + z = 3 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês?

A questão pede pra gente calcular o volume do sólido que está limitado pelo cilindro

x 2 + y 2 = 4

E pelos planos

z = 0

y + z = 3

Pra isso precisaremos calcular a integral tripla para a região que iremos descobrir.

O volume é dado por

V = ∭ G d V

Onde G seria nossos limites de integração. Como descobrimos? Observando o cilindro e os planos dados no enunciado. Show, né?

Passo 2

Olha bem que na questão estamos trabalhando com um cilindro e planos. Então nada mais justo que estarmos nas coordenadas cilíndricas, certo?

Relembrando alguns termos:

x ,   y ,   z = ( r ,   θ ,   z )

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

d V =   r d z d r d θ

Agora vamos descobrir nossos limites de Integración?

Com o cilindro:

x 2 + y 2 = 4 ⏟ r 2

Com isso, sabemos que

0 ≤ r ≤ 2

Com o plano z , temos

y + z = 3

z = 3 - y

Só que sabemos quem é y nas coordenadas cilíndricas, assim:

z = 3 - r   s e n   θ

Ou seja:

0 ≤ z ≤ 3 - r s e n θ

E em relação a θ , muito geralmente, como não há restrição, temos:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo, podemos montar nossa integral:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 3 - r sin ⁡ θ r   d z d r d θ

Passo 3

Agora com nossa integral encontrada e montada, vamos começar calculando primeiro em relação a z , ou seja, de dentro para fora:

∫ 0 3 - r sin ⁡ θ r   d z  

r z 0 3 - r sin ⁡ θ

Substituindo pelos limites de integração:

3 r - r 2 sin ⁡ θ

Agora resolveremos em relação a r :

∫ 0 2 3 r - r 2 sin ⁡ θ   d r

sin ⁡ θ 3 r 2 2 - r 3 3 0 2

Colocando los limites, amigos e amigas...

6 - 8 3 sin ⁡ θ

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples, agora em relação a θ :

∫ 0 2 π 6 - 8 3 sin ⁡ θ d θ

6 θ + 8 3 ⋅ cos ⁡ θ 0 2 π

12 π

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Show de bola! 😉

Resposta

12 π

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