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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1q

Calcule

q) underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x

Passo 1

O limite da forma que está escrito está com a indeterminação 0^(oo) . Pra escapar dessa furada, vamos usar o macete de escrever o número a^b dessa forma:

a^b = e^(l n a^b) = e^(b l n (a))

E aí o limite fica assim:

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = underset(x -> + oo)(lim) e^(ln [(x)/(x^2 + 1)]^x)

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = underset(x -> + oo)(lim) e^(x ln [(x)/(x^2 + 1)])

Como a base é constante, o resultado do limite só vai depender do valor do expoente!

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = e^((underset(x -> + oo)(lim) x ln [(x)/(x^2 + 1)]))

Passo 2

Então vamos analisar o expoente! O x vai pro infinito, então o que tá dentro do l n vai pra 0 , beleza?

underset(x -> + oo)(lim) x ln [(x)/(x^2 + 1)] -> (+ oo) ln (0) -> (+ oo) (- oo) -> - oo

Logo,

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = e^((underset(x -> + oo)(lim) x ln [(x)/(x^2 + 1)])) -> e^(- oo) -> 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = 0

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Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital. y =
Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → π 2 - ⁡ 4 t g x 1 + sec ⁡ x
Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x
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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 1 x = 0