Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função.

y = e^x * ln(1 + x)

Passo 1

Olá, Genio do cálculo!

Nesse exercício, vamos explorar a função y = e x l n ⁡ ( 1 + x ) . A estratégia para encontrar os termos não nulos na série de Maclaurin envolve utilizar as séries de potência para e x e ln ⁡ 1 + x .

Primeiramente, vamos recordar a expansão em série binomial, que é uma ferramenta valiosa nesse tipo de problema. A série binomial é dada por:

  ⁡ ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 ∞ n k x k

Agora, para determinar os termos não nulos na série de Maclaurin para y , vamos multiplicar as séries de e x e ln ⁡ 1 + x , e destacaremos como usaremos a precisão desejada para determinar em qual termo parar.

Da tabela 1 apresentada nessa seção, temos que:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

E também que:

ln ⁡ 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + …

Passo 2

Podemos expressar y como a multiplicação das séries de potência de e x e ln ⁡ 1 + x . Em seguida, simplificaremos a função, identificando os termos relevantes até a ordem desejada.

Dessa forma, podemos reescrever y como:

y = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … x - x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + …

Simplificando a função e escrevendo os termos com grau menor que 3, obtemos:

e x ln ⁡ 1 + x = x - 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + …

Passo 3

Portanto, após simplificar a expressão e juntar os termos em comum, chegamos a:

y = e x ln ⁡ 1 + x

= x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + …

Resposta

y = e x ln ⁡ 1 + x = x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + …

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