Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 70
Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função.
Passo 1
Olá, Genio do cálculo!
Nesse exercício, vamos explorar a função . A estratégia para encontrar os termos não nulos na série de Maclaurin envolve utilizar as séries de potência para e .
Primeiramente, vamos recordar a expansão em série binomial, que é uma ferramenta valiosa nesse tipo de problema. A série binomial é dada por:
Agora, para determinar os termos não nulos na série de Maclaurin para , vamos multiplicar as séries de e , e destacaremos como usaremos a precisão desejada para determinar em qual termo parar.
Da tabela 1 apresentada nessa seção, temos que:
E também que:
Passo 2
Podemos expressar como a multiplicação das séries de potência de e . Em seguida, simplificaremos a função, identificando os termos relevantes até a ordem desejada.
Dessa forma, podemos reescrever como:
Simplificando a função e escrevendo os termos com grau menor que 3, obtemos:
Passo 3
Portanto, após simplificar a expressão e juntar os termos em comum, chegamos a: