Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 67
Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função.
Passo 1
E ai turminha! Tudo bem? Bora lá!?
Analisando a questão, percebemos que ela solicita que encontramos os três primeiros termos diferente de zero da série de Maclaurin para a função utilizando de multiplicação ou divisão de séries de potências.
Vish, deu um branco? Como faço isso?
Bom, vamos analisar a Tabela 1 e verificar se encontramos alguma série que se parece com a função .
Observe que não temos uma série para a função . Porém sabemos que a secante pode ser escrita como:
E conhecemos a série :
Agora precisamos substituir a série de no denominador e fazer as manipulações para encontrar a série da .
Passo 2
Conhecemos a série do e sabemos que , então vamos substituir por sua série
Substituindo, então temos que
Passo 3
Agora vamos ter bastante atenção e calma. Pois, precisamos dividir o numerador pelo denominador
Assim, vamos fazer para os três primeiros termos da série do denominador.
O processo vai ser igual a de uma divisão comum de funções, conforme a imagem abaixo. Vamos dividindo até tentar obter resto zero...Mas lembre-se que nossa série é infinita, então nosso resto é infinito também...portanto vamos fazer a divisão até obter três valores no quociente.
Vamos começar. O primeiro valor do quociente é , logo
O segundo valor do quociente é , logo
O terceiro valor do quociente é , logo
Observe que poderíamos ficar dividindo infinitamente, mas paramos no terceiro termo do quociente. Mas porquê?
Pelo motivo do enunciado solicitar somente os três primeiros termos.
Logo, avaliando o quociente da divisão acima temos os três primeiros termos da série como: