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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 28

Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante p , é equilátero.

Dica: Utilize a fórmula de Heron para a área:

A = s s - x s - y s - z

Onde s = p 2 e x , y , z são os comprimentos dos lados.

Passo 1

Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte fórmula da área de um triângulo:

A = s s - x s - y s - z

Onde s = p 2 e x , y , z são os comprimentos dos lados.

Queremos demonstrar que o triângulo com área máxima A , e que tem um perímetro constante p , é equilátero.

Para demonstrarmos isso, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z sujeitos à restrição g x , y , z = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y , z = k ), então:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores que desejamos!!

Pera... mas quem é f e quem é nossa restrição g ???

Bom... para ficar mais simples as nossas continhas, vamos deixar f da seguinte forma:

f x , y , z = s s - x s - y s - z

E a nossa restrição g será o perímetro do triângulo, que nada mais é do que a soma de seus lados:

g x , y , z = x + y + z

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z = s s - x s - y s - z

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a x , colocando as constantes para fora e aplicando a Regra da Potência, temos:

f x = ∂ ∂ x   s s - x s - y s - z ∴

f x = s s - y s - z ∂ ∂ x s - x ∴

f x = - s s - y s - z

De forma análoga, derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y s s - x s - y s - z ∴

f y = s s - x s - z ∂ ∂ y s - y ∴

f y = - s s - x s - z

E, para z :

f z = ∂ ∂ z s s - x s - y s - z ∴

f z = s s - x s - y ∂ ∂ z s - z ∴

f z = - s s - x s - y

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = - s s - y s - z ,   - s s - x s - z ,   - s s - x s - y

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z = x + y + z

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x + y + z ∴

g x = 1

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x + y + z ∴

g y = 1

E, para z :

g z = ∂ ∂ z   x + y + z ∴

g z = 1

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 1,1 , 1

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z ∴

- s s - y s - z ,   - s s - x s - z ,   - s s - x s - y = λ ⋅ 1,1 , 1

Daí, vamos tirar que:

- s s - y s - z = λ - s s - x s - z = λ - s s - x s - y = λ

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Igualando a primeira e a segunda equação, temos:

- s s - y s - z = - s s - x s - z ∴

s - y = s - x ∴

x = y

Igualando a segunda e a terceira equações, temos:

- s s - x s - z = - s s - x s - y ∴

s - z = s - y ∴

y = z

Assim, podemos concluir que:

x = y = z = p 3

Dessa forma, provamos que o triângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante p , é equilátero.

😉

Resposta

Demonstração

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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 x 2 + y 2 + z 2 = 1
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Encontre o valor mínimo de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 sujeito a restrição x + 2 y + 3 z = 10 . Mostre que f não tem valor máximo com essa restrição.
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita