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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 56

Calcule.

56- int_0^((pi)/(2)) s e n^2 x d x

Passo 1

Galerinha, para resolver essa integral nós temos que nos lembrar do 1 ° teorema fundamental do cálculo:

Se for integrável em [ a , b ] e se F for uma primitiva de f em [ a , b ] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( x ) para encontrar a nossa primitiva F ( x ) , e depois substituir os limites de integração.

Bora lá!

Passo 2

Antes de integrar, vamos dar uma mexida na função para ela ficar com uma cara mais de integrar?!

Nós temos a seguinte integral para resolver, int_0^((pi)/(2)) s e n^2 x d x

Vamos tentar simplificar, sumindo com esse s e n^2 x . A gente consegue fazer aplicando a seguinte identidade trigonométrica:

s e n^2 (x) = (1)/(2) - (cos (2 x))/(2)

Então podemos reescrever a nossa integral dessa forma,

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) - (cos (2 x))/(2) d x

Mais uma coisa, como a integral da soma é a soma das integrais, temos:

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) d x - int_0^((pi)/(2)) (cos (2 x))/(2) d x

Agora, já estamos devidamente preparados para resolver essa integral. Então, vamos lá!

Passo 3

A primeira a gente resolver de forma direta né!

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) d x = [(1)/(2) x]

Na segunda temos que usar uma de nossas técnicas da integração! int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) . cos (2 x) d x

Vamos fazer uma substituição simples, onde:

u = 2 x

d u = 2 d x -> (d u)/(2) = d x

Fazendo a substituição, ficamos com

int cos u d u = se n u

Voltando de u para 2 x , temos que

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) . cos (2 x) d x = [ se n 2 x ]

Agora vamos juntas as integrais e calcular o limite de integração

Passo 4

Então temos que,

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) - (1)/(2) . cos (2 x) d x = [(1)/(2) x - se n 2 x] ((pi)/(2))/(0)

Substituindo,

= ((1)/(2) ((pi)/(2)) - se n 2 ((pi)/(2))) - ((1)/(2) (0) - se n 2 (0)) = (pi)/(4)

Fim!

Resposta

(pi)/(4)

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