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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 23

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v t = 2 t - 3 , t ≥ 0 .

  1. Calcule o deslocamente entre os instantes t = 1 e t = 3 .
  2. Qual o espaço percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3 ?
  3. Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes t = 1 e t = 3 .

Passo 1

Como a função velocidade é a derivada da função espaço sobre o tempo:

v t = d s d t → ∫ d s = ∫ v t d t

Portanto,

∫ 1 3 d s = ∫ 1 3 v t d t

s 3 - s 1 = ∆ s = ∫ 1 3 2 t - 3 d t

Vamos separar em duas integrais distintas:

∆ s = ∫ 1 3 2 t - 3 d t = 2 ∫ 1 3 t d t - 3 ∫ 1 3 d t

Calculando a integral:

∆ s = 2 ∫ 1 3 t d t - 3 ∫ 1 3 d t = 2 t 2 2 - 3 t 1 3 = t 2 - 3 t 1 3

∆ s = 3 2 - 3 ∙ 3 - 1 2 - 3 ∙ 1 = - 1 - 3 = 2

Passo 2

O espaço percorrido pela partícula é:

∆ s = ∫ 1 3 2 t - 3 d t

Olhando o gráfico de velocidade:

É possível observar que a velocidade é negativa no intervalo [ 1,1 , 5 [ e positivo no intervalo ] 1,5 , 3 ] . Assim, o espaço percorrido fica:

∆ s = ∫ 1 3 2 t - 3 d t = - ∫ 1 1,5 2 t - 3 d t + ∫ 1,5 3 2 t - 3 d t

∆ s = - 2 t 2 2 - 3 t 1 1,5 + 2 t 2 2 - 3 t 1,5 3

∆ s = - t 2 - 3 t 1 1,5 + t 2 - 3 t 1,5 3

∆ s = - 1,5 2 - 3 ∙ 1,5 - 1 2 - 3 ∙ 1 + 3 2 - 3 ∙ 3 - 1,5 2 - 3 ∙ 1,5

∆ s = - 2,25 - 4,5 - 1 - 3 + - 2,25 - 4,5

∆ s = 0,25 + 2,25 = 2,5 = 10 4

Passo 3

Como a função s t é uma função de segundo grau, a partícula descreve um movimento parabólico, onde no intervalo entre 1 e 1,5 é negativo e entre 1,5 e 3 é positivo.

Resposta

  1. 2
  2. 10 4
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25-28. Use o Teorema 5.5 . 4 e fórmulas apropriadas de Geometria para calcular as integrais. 25 . ∫ - 1 3 4 - 5 x d x
13-16. Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário. 16. (a) ∫ - 10 - 5 6 d x (b) ∫ -
17. Em cada parte, calcule a integral, sabendo que: f x = x - 2 ,x ≥ 0 x + 2 ,x0 a) ∫ - 2 0 f x d x b) ∫ - 2 2 f x d x c) ∫ 0 6 f x d x d) ∫ - 4 6 f x d x
F = ∫ a b ρ h x w x sec ⁡ θ d x Derive a fórmula dada acima para a força do fluido sobre uma superfície plana imersa a um certo ângulo em um fluido.
A figura abaixo mostra um dique cuja face é um retângulo inclinado. Encontre a força do fluido sobre a face quando o nível da água estiver no topo do dique.