Use as propriedades de integral para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

∫ 0 4 𝑥 2 − 4 𝑥 + 4 𝑑 𝑥 ≥ 0

Passo 1

Olá, amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa querida atividade de integral.

Aqui nos pedem para estudarmos o sinal dessa integral, precisamos conferir se a integral será maior ou igual a zero, porém sem resolvê-la.

Para isso iremos utilizar a propriedade que diz:

Se 𝑓 𝑥   ≥ 0 para o intervalo 𝑥 𝜖 𝑎 , 𝑏 então

∫ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 > 0

Passo 2

Perceba que podemos reescrever o integrando da seguinte maneira

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2

Como

x - 2 2 ≥ 0

Usando a propriedade 6 do livro, e que comentamos no passo 1:

∫ 0 4 𝑥 2 − 4 𝑥 + 4 𝑑 𝑥 = ∫ 0 4 𝑥 − 2 2     𝑑 𝑥 ≥ 0

Resposta

∫ 0 4 𝑥 2 − 4 𝑥 + 4 𝑑 𝑥 = ∫ 0 4 𝑥 − 2 2     𝑑 𝑥 ≥ 0

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