Cobb e Douglas usaram a equação P L , K = 1,01   L 0,75   K 0,25 para o modelo de economia norte-americana de 1899 a 1922, onde L é a quantidade de trabalho e K , a quantidade de capital.

a) Calcule P L e P K .

b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produtividade marginal de capital no ano de 1920, quando L = 194 e K = 407 (em comparação com os valores atribuídos L = 100 e K = 100 em 1899).

c) No ano de 1920, o que trouxe mais benefícios para a produção: um aumento no capital de investimento ou um aumento nos gastos com mão de obra?

Passo 1

Oie, meu mano. Vamos para mais uma resolução hoje?!

O problema fornece a função de produção P L , K = 1,01   L 0,75   K 0,25 e pede para fazermos algumas análises numéricas.

De cara ele pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função. Para isso a gente tem que derivar em relação a variável que a gente quer e manter a outra variável como constante.

Essas derivadas parciais que a gente vai realizar serão utilizadas na letra b) e sua interpretação será utilizada na letra c).

Vamos então dar inicio a resolução de fato!

Passo 2

No item (a), devemos calcular as derivadas parciais de P . Derivando com relação a L :

P L , K = 1,01   L 0,75   K 0,25

Derivando normalmente em relação a L e considerando K uma constante:

P L = 1,01 ⋅ 0,75 ⋅ L - 0,25 ⋅ K 0,25

Simplificando:

P L = 0,7575   K L 0,25

Fazendo o mesmo com relação a K :

P L , K = 1,01   L 0,75   K 0,25

P K = 1,01 ⋅ 0,25 ⋅ L 0,75 ⋅ K - 0,75

Simplificando:

P K = 0,2525   L K 0,75

Passo 3

No item (b) temos que calcular P L e P K para alguns valores de L e K .

Vale lembrar que P L é a produtividade marginal do trabalho, e P K do capital.

Em 1920, temos que L = 194 e K = 407 :

P L = 0,7575   407 194 0,25 = 0,9117

P K = 0,2525   194 407 0,75 = 0,1448

Já em 1899, L = K = 100 :

P L = 0,7575           e             P K = 0,2525

Passo 4

Agora no item c):

Vemos que a produtividade marginal do trabalho aumentou, porém a do capital diminuiu! Assim, em 1920, o que trazia mais benefício para a produção era o aumento com gastos em mão de obra.

Resposta

P L = 0,7575   K L 0,25

P K = 0,2525   L K 0,75

P L = 0,9117           e                 P K = 0,1448

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados