Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 86
Cobb e Douglas usaram a equação para o modelo de economia norte-americana de 1899 a 1922, onde é a quantidade de trabalho e , a quantidade de capital.
a) Calcule e .
b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produtividade marginal de capital no ano de 1920, quando e (em comparação com os valores atribuídos e em 1899).
c) No ano de 1920, o que trouxe mais benefícios para a produção: um aumento no capital de investimento ou um aumento nos gastos com mão de obra?
Passo 1
Oie, meu mano. Vamos para mais uma resolução hoje?!
O problema fornece a função de produção e pede para fazermos algumas análises numéricas.
De cara ele pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função. Para isso a gente tem que derivar em relação a variável que a gente quer e manter a outra variável como constante.
Essas derivadas parciais que a gente vai realizar serão utilizadas na letra b) e sua interpretação será utilizada na letra c).
Vamos então dar inicio a resolução de fato!
Passo 2
No item (a), devemos calcular as derivadas parciais de . Derivando com relação a :
Derivando normalmente em relação a e considerando uma constante:
Simplificando:
Fazendo o mesmo com relação a :
Simplificando:
Passo 3
No item (b) temos que calcular e para alguns valores de e .
Vale lembrar que é a produtividade marginal do trabalho, e do capital.
Em 1920, temos que e :
Já em 1899, :
Passo 4
Agora no item c):
Vemos que a produtividade marginal do trabalho aumentou, porém a do capital diminuiu! Assim, em 1920, o que trazia mais benefício para a produção era o aumento com gastos em mão de obra.