Enunciado

Use um recurso computacional para aproximar a solução da equação. Quando forem usados radianos, expresse sua resposta com quatro casas decimais; quando forem usados graus, expresse-a até o décimo de grau mais próximo. [Nota: Em cada parte, a solução não está na imagem da função trigonométrica inversa pertinente.]

  1. cos ⁡ x = - 0,85 ,                   π < x < 3 π 2
  2. cos ⁡ θ = 0,23 ,                   - 90 o < x < 0 o

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Vambora! Olha só, pra letra a , a questão pede a solução aproximada de:

cos ⁡ x = - 0,85 ,                   π < x < 3 π 2

Ou seja, ela quer um valor de x nesse intervalo que satisfaça a igualdade. Pô, parece tentador fazer:

x = arc  cos ⁡ - 0,85

Né não? Mas o enunciado já nos deu o bizu de que isso não vai dar certo. Bem, já que é assim, vamos tentar então usar um recurso computacional pra resolver. Eu recomendo usar uma ferramenta de planilhas e escolher alguns valores de π < x < 3 π 2 pra ver quanto dá o cosseno deles. Com a escolha de alguns x , achamos esses valores de cosseno:

E veja só! O cosseno de valor - 0,85 está entre 3,6652 e 3,8397 radianos. Podemos interpolar então pra achar em qual radiano o cosseno de valor 0,37 está:

cos ⁡ 3,8397   r a d - cos ⁡ 3,6652   r a d 3,8397   r a d - 3,6652   r a d = cos ⁡ 3,8397   r a d - cos ⁡ x   r a d 3,8397   r a d - x   r a d

- 0,77 - - 0,87 0,1745 = - 0,77 - - 0,85 3,8397 - x

0,1 0,1745 = 0,08 3,8397 - x

Multiplicando cruzado, temos:

3,8397 - x 0,1 = 0,1745 0,08

3,8397 - x = 0,1745 0,08 0,1

x = 3,8397 - 0,1745 0,08 0,1

Usando a mesma ferramenta de planilhas pra fazer essa conta, achamos o seguinte valor de x :

x = 3,7001   r a d

Passo 2

Galera, aqui é a mesma coisa, só que vamos trabalhar só com graus:

cos ⁡ θ = 0,23 ,                   - 90 o < x < 0 o

Podemos montar uma tabelinha também, saca só:

Veja que 0 , 23 está entre - 80 0 e - 7 0 0 ! Interpolando de novo, temos:

cos ⁡ - 70 0 - cos ⁡ - 8 0 0 - 70 0 - - 8 0 0 = cos ⁡ - 70 0 - cos ⁡ θ - 70 0 - θ

0,34 - 0,17 1 0 0 = 0,34 - 0,23 - 70 0 - θ

0,17 10 0 = 0,11 - 70 0 - θ

Multiplicando cruzado, temos:

- 70 0 - θ 0,17 = 10 0,11

- 70 0 - θ = 10 0,11 0,17

θ = - 70 0 - 10 ∙ 0,11 0,17

Usando a mesma ferramenta de planilhas pra fazer essa conta, achamos o seguinte valor de x :

θ = - 76,5 o

Resposta

  1. x = 3,7001   r a d
  2. θ = - 76,5 o
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