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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 16

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

G x , y , z = e x z   s e n   y z

Passo 1

Vamos partir para mais uma resolução meu amigo.

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

A gente tem a função:

G x , y , z = e x z   s e n   y z

E queremos encontrar suas derivadas:

G x   ; G y   ; G z

Para isso, deveremos derivar parcialmente. Isso funciona da seguinte forma, a gente deriva em relação a variável que a gente quer, mas considera todas as outras variáveis como constantes.

Para esse caso aqui, veja que precisaremos aplicar a regra da cadeia em determinado momento. E também deveremos aplicar a regra do produto:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Passo 2

Neste caso, temos uma função de x , y e z . Como o x sá aparece na exponencial:

G x , y , z = e x z   s e n   y z

Veja que aplicamos a regra da cadeia:

∂ G ∂ x = e x z   s e n   y z ⋅ ∂ ∂ x ( x z )

Logo,

∂ G ∂ x = z e x z   s e n   y z

Analogamente para y , agora a gente aplica a regra da cadeia em sin ⁡ y z :

∂ G ∂ y = e x z cos ⁡ y z ⋅ ∂ ∂ y y z

Portanto:

∂ G ∂ y = e x z z cos ⁡ y z

Já para fazer a derivada com relação a z você precisa tomar mais cuidado pois essa variável aparece em dois lugares! Pela regra do produto:

G x , y , z = e x z   s e n   y z

∂ G ∂ z = e x z   s e n   y z ⋅ ∂ ∂ z x z + e x z cos ⁡ y z ⋅ ∂ ∂ z y z

Assim:

∂ G ∂ z = x e x z   s e n   y z - y z 2 e x z cos ⁡ y z

Resposta

∂ G ∂ x = z e x z   s e n   y z

∂ G ∂ y = e x z z cos ⁡ y z

∂ G ∂ z = x e x z   s e n   y z - y z 2 e x z cos ⁡ y z

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