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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 44

Coordenadas polares. Suponha que substituamos as coordenadas polares x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ em uma função derivável w = f x ,   y .

a. Mostre que

∂ w ∂ r = f x cos ⁡ θ + f y sen ⁡ θ

e

1 r ∂ w ∂ θ = - f x sen ⁡ θ + f y cos ⁡ θ

b. Resolva as equações no item (a) para expressar f x e f y em termos de ∂ w / ∂ r e ∂ w / ∂ θ .

c. Mostre que

f x 2 + f y 2 = ∂ w ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2

Passo 1

Oi pessoal, no item a. queremos mostrar as derivadas ∂ w / ∂ r e ∂ w / ∂ θ . Então primeiro iremos fazer o diagrama de árvore referente a r :

Com isso, através da Regra da Cadeia, temos:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r

Considerando que ∂ w / ∂ x = f x ∂ w / ∂ y = f y . E sabemos que x = r cos ⁡ θ , então:

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

E y = r sen ⁡ θ , logo:

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

Sendo assim:

∂ w ∂ r = f x cos ⁡ θ + f y sen ⁡ θ

Passo 2

O diagrama de árvore de ∂ w / ∂ θ :

Com isso, através da Regra da Cadeia, temos:

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ

Para fazermos as derivadas, vamos relembrar que:

y = sen ⁡ θ → y ' = u ' cos ⁡ θ       y = cos ⁡ θ = y ' = - u ' sen ⁡ θ

Sendo assim:

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

E:

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

Substituindo na equação:

∂ w ∂ θ = f x ∙ - r sen ⁡ θ + f y ∙ r cos ⁡ θ

= - r f x sen ⁡ θ + r f y cos ⁡ θ

= r - f x sen ⁡ θ + f y cos ⁡ θ

1 r ∂ w ∂ θ = - f x sen ⁡ θ + f y cos ⁡ θ

Passo 3

No item b. iremos resolver as equações do item a. para expressar f x e f y em termos de ∂ w / ∂ r e ∂ w / ∂ θ . Então, temos as equações:

∂ w ∂ r = f x cos ⁡ θ + f y sen ⁡ θ                                   ( I ) 1 r ∂ w ∂ θ = - f x sen ⁡ θ + f y cos ⁡ θ                   ( I I )

Na equação (I), vamos isolar f x da equação:

f x cos ⁡ θ = ∂ w ∂ r - f y sen ⁡ θ

f x = ∂ w ∂ r - f y sen ⁡ θ cos ⁡ θ

f x = ∂ w ∂ r sec ⁡ θ - f y tg ⁡ θ

Substituindo f x na equação (II):

1 r ∂ w ∂ θ = - ∂ w ∂ r sec ⁡ θ - f y tg ⁡ θ sen ⁡ θ + f y cos ⁡ θ

1 r ∂ w ∂ θ = - ∂ w ∂ r tg ⁡ θ + f y tg ⁡ θ sen ⁡ θ + f y cos ⁡ θ

1 r ∂ w ∂ θ = - ∂ w ∂ r tg ⁡ θ + f y tg ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

1 r ∂ w ∂ θ = - ∂ w ∂ r tg ⁡ θ + f y sec ⁡ θ

f y sec ⁡ θ = 1 r ∂ w ∂ θ + ∂ w ∂ r tg ⁡ θ

Para f y , temos:

f y = ∂ w ∂ r sen ⁡ θ + 1 r ∂ w ∂ θ cos ⁡ θ

Voltando na equação (I):

f x = ∂ w ∂ r sec ⁡ θ - ∂ w ∂ r sen ⁡ θ + 1 r ∂ w ∂ θ cos ⁡ θ tg ⁡ θ

f x = ∂ w ∂ r sec ⁡ θ - ∂ w ∂ r sen ⁡ θ tg ⁡ θ - 1 r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ

f x = ∂ w ∂ r sec ⁡ θ - sen ⁡ θ tg ⁡ θ - 1 r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ

Sendo assim, para f x :

f x = ∂ w ∂ r cos ⁡ θ - 1 r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ

Passo 4

E por fim, no item c. iremos mostrar que:

f x 2 + f y 2 = ∂ w ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2

Logo:

f x 2 + f y 2 = ∂ w ∂ r cos ⁡ θ - 1 r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ 2 + ∂ w ∂ r sen ⁡ θ + 1 r ∂ w ∂ θ cos ⁡ θ 2

= ∂ w ∂ r 2 cos 2 ⁡ θ - 2 ∙ ∂ w ∂ r cos ⁡ θ ∙ 1 r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ w ∂ r 2 sen 2 ⁡ θ + 2 ∙ ∂ w ∂ r sen ⁡ θ ∙ 1 r ∂ w ∂ θ cos ⁡ θ + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2 cos 2 ⁡ θ

= ∂ w ∂ r 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ w ∂ r 2 sen 2 ⁡ θ + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2 sen 2 ⁡ θ + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2 cos 2 ⁡ θ + 2 r ∂ w ∂ r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 r ∂ w ∂ r ∂ w ∂ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

= ∂ w ∂ r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Sabemos que:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Sendo assim:

f x 2 + f y 2 = ∂ w ∂ r 2 ∙ 1 + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2 ∙ 1

f x 2 + f y 2 = ∂ w ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ w ∂ θ 2

Ufa, finalmente acabamos, esse foi um exercício mais teórico, mas espero ter conseguido te ajudar! Até mais pessoal.

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1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .2. z = x - y x + 2 y ,x = e π t ,y = e - π t
21-26. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas .21. z = x 4 + x 2 y ,x = s + 2 t - u ,y = s t u 2 ; ∂ z ∂ s ;∂ z ∂ t ;∂ z ∂ u ,q u a n d os = 4 ,t = 2 ,u = 1
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .12. z = tan ⁡ u v ,u = 2 s + 3 t ,v = 3 s - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .8. z = a r c tan ⁡ x 2 + y 2 ,x = s ln ⁡ t ,y = t e s
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .11. z = e r cos ⁡ θ ,r = s t ,θ = s 2 + t 2