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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 1

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .

1. z = x y 3 - x 2 y ,   x = t 2 + 1 ,   y = t 2 - 1

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

A gente tem a função:

z = x y 3 - x 2 y

E temos suas parametrizações:

x = t 2 + 1

y = t 2 - 1

Dito isso, queremos encontrar o diferencial:

d z d t  

Para encontrarmos d z d t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

Então veja que deveremos utilizar da derivada parcial.

Passo 2

Derivando, teremos:

z = x y 3 - x 2 y

∂ z ∂ x = y 3 - 2 x y

Agora vamos derivar a parametrização de x :

x = t 2 + 1

d x d t = 2 t

Agora vamos encontrar a derivada parcial em relação a y :

∂ z ∂ y = 3 x y 2 - x 2

Agora vamos derivar a parametrização de y :

d y d t = 2 t

y = t 2 - 1

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = y 3 - 2 x y ⋅ 2 t + 3 x y 2 - x 2 ⋅ 2 t

d z d t = 2 t y 3 - 2 x y + 3 x y 2 - x 2

Resposta

d z d t = 2 t y 3 - 2 x y + 3 x y 2 - x 2

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