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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 22

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

∂ w ∂ p para w = f x ,   y ,   z ,   v , x = g p ,   q , y = h p ,   q , z = j p ,   q , v = k p ,   q

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Apesar de serem duas variáveis independentes, queremos apenas para ∂ w / ∂ p

Então a fórmula para a Regra da Cadeia:

∂ w ∂ p = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ p + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ p + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ p + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ p

Tchau pessoal.

Resposta

∂ w ∂ p = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ p + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ p + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ p + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ p

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v
Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = y e x + x e y , x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t .
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = (x^2 + y^2) ln sqrt(x^2 + y^2) , x = e^t , y = e^(- t) .
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u