Disseram-lhe que existe uma função f cujas derivadas parciais são f x x ,   y = x + 4 y e f y x ,   y = 3 x - y . Você deve acreditar nisso?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu duas derivadas parciais:

f x x ,   y = x + 4 y

f y x ,   y = 3 x - y

Queremos descobrir se essas derivadas estão corretas.

Eita.. complicou né?

Uma estratégia extremamente interessante para resolvermos esse problema é derivarmos uma segunda vez para podermos utilizar o Teorema de Clairaut.

Mas que Teorema é esse??

O Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, diz que se duas funções forem contínuas, então:

f x y = f y x

Então vamos derivar novamente as expressões que nos foram dadas, uma para cada variável diferente para que a gente possa comparar!

Passo 2

Da primeira derivada, temos:

f x x ,   y = x + 4 y

Agora derivando em relação à y , teremos:

f x y x ,   y = 4

Para a outra derivada, temos que:

f y x ,   y = 3 x - y

Agora derivando em relação à x , teremos:

f y x x ,   y = 3

Passo 3

Perceba que, para as derivadas que descobrimos, temos que:

f x y ≠ f y x

Uma vez que:

4 ≠ 3

Sendo assim, podemos concluir que não tem como existir uma função f que possui essas derivadas parciais.

Resposta

Não existe uma função f com tais derivadas parciais.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados