Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 97
Disseram-lhe que existe uma função cujas derivadas parciais são e . Você deve acreditar nisso?
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu duas derivadas parciais:
Queremos descobrir se essas derivadas estão corretas.
Eita.. complicou né?
Uma estratégia extremamente interessante para resolvermos esse problema é derivarmos uma segunda vez para podermos utilizar o Teorema de Clairaut.
Mas que Teorema é esse??
O Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, diz que se duas funções forem contínuas, então:
Então vamos derivar novamente as expressões que nos foram dadas, uma para cada variável diferente para que a gente possa comparar!
Passo 2
Da primeira derivada, temos:
Agora derivando em relação à , teremos:
Para a outra derivada, temos que:
Agora derivando em relação à , teremos:
Passo 3
Perceba que, para as derivadas que descobrimos, temos que:
Uma vez que:
Sendo assim, podemos concluir que não tem como existir uma função que possui essas derivadas parciais.
Resposta
Não existe uma função com tais derivadas parciais.