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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 6

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .

6. w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ² ,   x = s e n   t ,   y = cos ⁡ t ,   z = tan ⁡ t

Passo 1

Oie, vamos comigo resolver essa atividade?

A gente tem a seguinte função:

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ²

A gente quer encontrar o diferencial:

d w d t

Para encontrarmos d w d t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

Sendo que:

x = s e n   t ,   y = cos ⁡ t ,   z = tan ⁡ t

Precisaremos então encontrar as derivadas parciais.

Passo 2

Derivando, teremos:

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ²

E aqui a agente vai ter que aplicar a regra da cadeia para derivar, já que temos uma função dentro de outra:

f g x ' = f ' g x ⋅ g x '

Sendo então:

ln ⁡ g x

E

g x =   x 2 + y 2 + z 2

E quando formos derivar g x existe a necessidade de se aplicar a regra da cadeia de novo, agora com:

g h x = h x

E

h x = x 2 + y 2 + z 2

então vamos aplicar a regra da cadeia aqui:

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ²

Derivando em relação a x :

∂ w ∂ x = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 1 2  

Agora a dente deriva lembrando que ln ⁡ x ' = 1 x :

∂ w ∂ x = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 + z 2

Simplificando todo mundo:

∂ w ∂ x = x x 2 + y 2 + z ²

Passo 3

Agora a gente vai para a derivada de x :

x = s e n   t

d x d t = cos ⁡ t

Voltamos para derivar w , mas veja que a derivação daqui em diante será semelhante, então iremos pular alguns passos se você não se importa:

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ²

∂ w ∂ y = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 + z 2

Agora a gente simplifica:

∂ w ∂ y = y x 2 + y 2 + z ²

Voltamos para derivar y :

d y d t = - s e n   t

E novamente derivamos w , com o mesmo processo que você aprendeu comigo:

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ²

∂ w ∂ z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ⋅ 2 z x 2 + y 2 + z 2

∂ w ∂ z = z x 2 + y 2 + z ²

E por ultimo mas não menos importante, temos a derivação de z :

z = tan ⁡ t

Essa também é uma derivação tabelada:

d z d t = s e c 2 t

Passo 4

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

d w d t = x x 2 + y 2 + z ² ⋅ cos ⁡ t - y x 2 + y 2 + z 2 ⋅ s e n   t + z x 2 + y 2 + z 2 ⋅ s e c 2 t

Colocando em evidência:

d w d t = 1 x 2 + y 2 + z 2 x ⋅ cos ⁡ t - y ⋅ s e n   t + z ⋅ s e c 2 t

Resposta

d w d t = 1 x 2 + y 2 + z 2 x . cos ⁡ t - y . s e n   t + z . s e c 2 t

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1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .3. z = s e nx ⋅ cos ⁡ y ,x = t ,y = 1 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .1. z = x y 3 - x 2 y ,x = t 2 + 1 ,y = t 2 - 1
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .4. z = 1 + x y ,x = tan ⁡ t ,y = a r c tan ⁡ t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .10. z = x e x y ,x = 1 + s t ,y = s 2 - t ² ²
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 1,8 c m s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 c m s . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 120