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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 21

21-26. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas .

21. z = x 4 + x 2 y ,   x = s + 2 t - u ,   y = s t u 2 ;

∂ z ∂ s ;   ∂ z ∂ t ;   ∂ z ∂ u ,   q u a n d o   s = 4 ,   t = 2 ,   u = 1

Passo 1

Então pessoal, nessa questão nós temos a função f x , y = x 4 + x 2 y , mas x   e y dependem de outras variáveis, s , t   e u .

Precisamos calcular as derivadas

∂ z ∂ s ;   ∂ z ∂ t ;   ∂ z ∂ u

E substituir s = 4 ,   t = 2 ,   u = 1 .  

Para facilitar nossa resolução vamos realizar cada derivada parcial separadamente, tudo bem?

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Usando as expressões de z , x e y :

z = x 4 + x 2 y

x = s + 2 t - u

  y = s t u 2

temos

∂ z ∂ x = x 3 + 2 x y

∂ x ∂ s = 1

∂ y ∂ s = t u 2

Então,

∂ z ∂ s = x 3 + 2 x y + x ² t u ²

Tudo bem, agora que derivamos precisamos substituir os valores de s ,   t e u que foram dados, saca só:

x = s + 2 t - u = 4 + 2 ⋅ 2 - 1 = 7

y = 4 ⋅ 2 ⋅ 1 2 = 8

∂ z ∂ s = 7 3 + 2 ⋅ 7 ⋅ 8 + 7 2 ⋅ 2 ⋅ 1

∂ z ∂ s = 1582

Passo 3

Utilizando a regra da cadeia para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Novamente, usamos as expressões de z , x e y :

z = x 4 + x 2 y

x = s + 2 t - u

  y = s t u 2

Calculando cada derivada, encontramos

∂ z ∂ x = 4 x 3 + 2 x y

∂ x ∂ t = 2

∂ z ∂ y = x 4 + x 2 y

∂ y ∂ t = s u 2

Portanto,

∂ z ∂ t = x 3 + 2 x y ⋅ 2 + x 2 s u ²

No passo anterior já descobrimos quanto valem x e y nos valores de s ,   t e u que foram dados, sendo assim, substituindo x e y , teremos:

∂ z ∂ t = 7 3 + 2 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 2 + 7 2 ⋅ 4 ⋅ 1 2

∴ ∂ z ∂ t = 3164

Passo 4

Utilizando a regra da cadeia para ∂ z ∂ u :

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ��� y ∂ u

Assim como fizemos nos passos anteriores, usamos as expressões de z , x e y :

z = x 4 + x 2 y

x = s + 2 t - u

  y = s t u 2

Calculando cada derivada, encontramos

∂ z ∂ x = 4 x 3 + 2 x y

∂ x ∂ u = - 1

∂ z ∂ y = x 4 + x 2 y

∂ y ∂ u = 2 s t

∂ z ∂ u = x 3 + 2 x y ⋅ - 1 + x 2 ⋅ 2 s t u

No passo anterior já descobrimos quanto valem x e y nos valores de s ,   t e u que foram dados, sendo assim, substituindo x e y , teremos:

∂ z ∂ u = - 7 3 + 2 ⋅ 7 ⋅ 8 + 7 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 1

∴ ∂ z ∂ u = - 700

Resposta

∂ z ∂ s = 1582

∂ z ∂ t = 3164

∂ z ∂ u = - 700

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .11. z = e^r cos theta , r = s t , theta = sqrt(s^2 + t^2)
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Use a regra da cadeia para achar (d z)/(d t) z = t g^(- 1) ((y)/(x)) , x = e^t , y = 1 - e^(- t)