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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 10

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

10. z = x e x y ,   x = 1 + s t ,   y = s 2 - t ²

Passo 1

Seguinte, pessoal... Nós temos a função z = x e x y ,   mas essas variáveis dependem de outras variáveis, s e t .

Para encontrarmos ∂ z ∂ s e   ∂ z ∂ t , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Então nosso trabalho nessa questão é calcular essas derivadas, beleza?

Passo 2

As derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s são:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x e x y

Aqui temos um produto de funções de x , então usamos a regra do produto:

∂ z ∂ x = 1 2 x ⋅ e x y + x ⋅ e x y ⋅ y

Juntando os termos, obtemos:

∂ z ∂ x = e x y 1 2 x + x y

Outra derivada que precisamos é:

∂ x ∂ s = ∂ ∂ s ( 1 + s t )

∂ x ∂ s = t

Agora vamos derivar com relação a y :

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y ( x e x y )

∂ z ∂ y = x ⋅ e x y ⋅ x = x 3 2 ⋅ e x y

Derivando y com respeito a s :

∂ y ∂ s = ∂ ∂ s ( s 2 - t ² )

∂ y ∂ s = 2 s

E as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ t são:

∂ z ∂ x = e x y 1 2 x + x y

Que calculamos anteriormente e

∂ x ∂ t = ∂ ∂ t ( 1 + s t )

∂ x ∂ t = s

Derivando z com relação a y :

∂ z ∂ y = x ⋅ e x y ⋅ x = x 3 2 e x y

Derivando y   com relação a t :

∂ y ∂ t = ∂ ∂ t ( s 2 - t 2 )

∂ y ∂ t = - 2 t

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = e x y 1 2 x + x y ⋅ t + x 3 2 ⋅ e x y ⋅ 2 s

∴ ∂ z ∂ s = e x y t 2 x + x y ⋅ t + x 3 2 ⋅ 2 s

Para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = e x y 1 2 x + x y ⋅ s - x 3 2 ⋅ e x y ⋅ 2 t

∴ ∂ z ∂ t = e x y s 2 x + x y ⋅ s - x 3 2 ⋅ 2 t

Resposta

∂ z ∂ s = e x y t 2 x + x y ⋅ t + x 3 2 ⋅ 2 s

∂ z ∂ t = e x y s 2 x + x y ⋅ s - x 3 2 ⋅ 2 t

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