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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 2

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .

2. z = x - y x + 2 y ,   x = e π t ,   y = e - π t

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

A gente tem a função:

z = x - y x + 2 y

E temos suas parametrizações:

x = e π t

  y = e - π t

Dito isso, queremos encontrar o diferencial:

d z d t

Para encontrarmos d z d t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

Teremos então que utilizar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos iniciar com a derivada:

Veja que temos a necessidade de aplicar a regra do quociente aqui:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

z = x - y x + 2 y

∂ z ∂ x = 1 ⋅ x + 2 y - x - y ⋅ 1 x + 2 y 2

Simplificando a gente tem:

∂ z ∂ x = 3 y x + 2 y 2

Agora a gente precisa encontrar x t :

x = e π t

Aplicando a regra da cadeia:

d x d t = π e π t

A vez agora z y :

z = x - y x + 2 y

A gente ainda precisa utilizar a regra do quociente aqui:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

∂ z ∂ y = - 1 ⋅ x + 2 y - x - y ⋅ 2 x + 2 y 2

Simplificando a gente encontra:

∂ z ∂ y = - 3 x x + 2 y 2

Por ultimo devemos encontrar y t :

y = e - π t

Aplicando a regra da cadeia:

d y d t = - π e - π t

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = 3 y x + 2 y 2 ⋅ π e π t + 3 x x + 2 y 2 ⋅ π e - π t

Colocando em evidência o termo comum:

d z d t = 3 π e - π t x + 2 y 2 y e 2 π t + x

Resposta

d z d t = 3 π e - π t x + 2 y 2 y e 2 π t + x

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .7. z = (x - y)^5 , x = s^2 t , y = s t ² ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .5. w = x e^((y)/(z)) , x = t^2 , y = 1 - t , z = 1 + 2 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .6. w = ln sqrt(x^2 + y^2 + z ²) , x = s e n t , y = cos t , z = tan t ²
21-26. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas .21. z = x 4 + x 2 y ,x = s + 2 t - u ,y = s t u 2 ; ∂ z ∂ s ;∂ z ∂ t ;∂ z ∂ u ,q u a n d os = 4 ,t = 2 ,u = 1