1-6. Use a Regra da Cadeia para achar dz / dt ou d w / d t .

2. z = (x - y) / (x + 2y), x = e^(πt), y = e^(-πt)

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

A gente tem a função:

z = x - y x + 2 y

E temos suas parametrizações:

x = e π t

  y = e - π t

Dito isso, queremos encontrar o diferencial:

d z d t

Para encontrarmos d z d t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

Teremos então que utilizar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos iniciar com a derivada:

Veja que temos a necessidade de aplicar a regra do quociente aqui:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

z = x - y x + 2 y

∂ z ∂ x = 1 ⋅ x + 2 y - x - y ⋅ 1 x + 2 y 2

Simplificando a gente tem:

∂ z ∂ x = 3 y x + 2 y 2

Agora a gente precisa encontrar x t :

x = e π t

Aplicando a regra da cadeia:

d x d t = π e π t

A vez agora z y :

z = x - y x + 2 y

A gente ainda precisa utilizar a regra do quociente aqui:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

∂ z ∂ y = - 1 ⋅ x + 2 y - x - y ⋅ 2 x + 2 y 2

Simplificando a gente encontra:

∂ z ∂ y = - 3 x x + 2 y 2

Por ultimo devemos encontrar y t :

y = e - π t

Aplicando a regra da cadeia:

d y d t = - π e - π t

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = 3 y x + 2 y 2 ⋅ π e π t + 3 x x + 2 y 2 ⋅ π e - π t

Colocando em evidência o termo comum:

d z d t = 3 π e - π t x + 2 y 2 y e 2 π t + x

Resposta

d z d t = 3 π e - π t x + 2 y 2 y e 2 π t + x

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