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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 11

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

11. z = e r cos ⁡ θ ,   r = s t ,   θ = s 2 + t 2

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

A gente tem a função:

z = e r cos ⁡ θ

E temos suas parametrizações:

r = s t

θ = s 2 + t 2

Dito isso, queremos encontrar o diferencial:

∂ z ∂ s

�� z ∂ t

Para encontrarmos ∂ z ∂ s e   ∂ z ∂ t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ s + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

Então veja que deveremos utilizar da derivada parcial.

Passo 2

As derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s são:

z = e r cos ⁡ θ

A gente deriva em relção a r e considera θ constante:

∂ z ∂ r = e r cos ⁡ θ

Agora a gente vai encontrar r s :

r = s t

A gente deriva em relação a s e mantem t como uma constante:

∂ r ∂ s = t

Agora a gente vai encontrar z θ :

z = e r cos ⁡ θ

∂ z ∂ θ = - e r s e n   θ

A gente deriva em relação a s e mantem θ como uma constante:

θ = s 2 + t 2

∂ θ ∂ s = 1 2 ⋅ s 2 + t 2 - 1 2 ⋅ 2 s

∂ θ ∂ s = s s 2 + t 2

E as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ t são:

z = e r cos ⁡ θ

∂ z ∂ r = e r cos ⁡ θ

Agora a gente vai encontrar r t :

r = s t

A gente deriva em relação a t e mantem s como uma constante:

∂ r ∂ t = s

E agora finalmente temos que encontrar z θ :

z = e r cos ⁡ θ

∂ z ∂ θ = - e r s e n   θ

Precisamos também de θ t :

θ = s 2 + t 2

Aqui a gente aplica a regra da cadeia:

∂ θ ∂ t = 1 2 ⋅ s 2 + t 2 - 1 2 ⋅ 2 t

∂ θ ∂ t = t s 2 + t 2

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1 , obteremos:

Para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ s + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s

Substituindo:

∂ z ∂ s = e r cos ⁡ θ ⋅ t - e r s e n   θ ⋅ s s 2 + t 2

∂ z ∂ s = e r cos ⁡ θ ⋅ t - s e n   θ ⋅ s s 2 + t 2

Para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

Substituindo:

∂ z ∂ t = e r cos ⁡ θ ⋅ s - e r s e n   θ ⋅ t s 2 + t 2

∂ z ∂ t = e r cos ⁡ θ ⋅ s - s e n   θ ⋅ t s 2 + t 2

Resposta

∂ z ∂ s = e r cos ⁡ θ . t - s e n   θ . s s 2 + t 2

∂ z ∂ t = e r cos ⁡ θ . s - s e n   θ . t s 2 + t 2

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