Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 10

Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

z = e x + 2 y

x = s t

y = t s

Passo 1

Dada a função

z = e x + 2 y

Com

x = s t

e

y = t s

devemos determinar

∂ z ∂ s

e

∂ z ∂ t

Para isso, devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y . Isto é, ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t serão obtidos a partir da soma das derivadas parciais.

Veja:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

e

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos dar inicio então as derivadas parciais,

z = e x + 2 y

x = s t

y = t s

Vamos encontrar primeiro z x :

z = e x + 2 y

Aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

z x = x + 2 y ' ⋅ e x + 2 y

z x = e x + 2 y

Agora a gente vai encontrar z y :

z = e x + 2 y

Aqui a gente vai precisar utilizar a regra da cadeia também:

z y = x + 2 y ' ⋅ e x + 2 y

z y = 2 ⋅ e x + 2 y

Agora é hora de encontrar as derivadas das parametrizações:

x = s t

Vamos de x s :

x s = 1 t

E agora x t :

x t = s ⋅ t - 1 '

x t = - s ⋅ t - 2

E por último, iremos calcular para y :

y = t s

Primeiro y t :

y t = 1 s

E agora y s :

y s = s - 1 ⋅ t '

y s = - s - 2 ⋅ t

Depois dessas derivações, precisamos apenas substituir na formula dada.

Passo 3

Temos então:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Substituindo:

∂ z ∂ s   =   e x + 2 y ⋅   1 t -   2 t s 2

e

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Agora a gente substitui:

∂ z ∂ t   =   e x + 2 y ⋅ 2 s -   s t 2

Resposta

∂ z ∂ s = e x + 2 y .   ( 1 t -   2 t s 2 )

∂ z ∂ t = e x + 2 y .   ( 2 s -   s t ² )

Ver Outros Exercícios desse livro