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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 20

17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

20 –

t = f u , v , w ,

onde u = u p , q , r , s , v = v ( p , q , r , s ) , w = w ( p , q , r , s ) .

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão a gente tem a função t = f ( u , v , w ) e a questão quer que a gente utilize um “diagrama em árvore” para exibir a derivada dessa função pela regra da cadeia.

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. O “diagrama em árvore”, de um jeito prático, consiste em derivar a função de “fora” primeiro e depois seguir com as funções “internas”.

Passo 2

Para uma variável, por exemplo, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função w = f ( x , y , z ) , onde x , y e z são funções de duas variáveis s e t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ t

Agora vamos aplicar isso para o caso da função dada no enunciado.

Passo 3

Assim, se temos uma função t = f u , v , w , onde   u = u p , q , r , s ,     v = v p , q , r , s ,         w = w ( p , q , r , s )

∂ t ∂ p =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ p +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ p +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ p

∂ t ∂ q =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ q +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ q +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ q

∂ t ∂ r =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ r +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ r +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ r

∂ t ∂ s =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ s

Resposta

∂ t ∂ p =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ p +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ p +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ p

∂ t ∂ q =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ q +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ q +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ q

∂ t ∂ r =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ r +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ r +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ r

∂ t ∂ s =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ s

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Suponha que f é uma função diferenciável de x e y , e g r , s = f ( 2 r - s , s 2 - 4 r ) . Use a tabela de valores para determinar g r ( 1 ,2 ) e g s ( 1 ,2 ) .
Use um diagrama de árvore para escrever a Regra da Cadeia em cada caso. Assuma que todas as funções são diferenciáveis. u = f x , y onde x = x r , s , t e y = y r , s , t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis. w = f x , y , z Onde x = x u , v y = y u , v z = z u , v
17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.19 – w = f r , s , t , onde r = r ( x , y ) , s = s ( x , y )