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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 20

17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

20 –

t = f u , v , w ,

onde u = u p , q , r , s , v = v ( p , q , r , s ) , w = w ( p , q , r , s ) .

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão a gente tem a função t = f ( u , v , w ) e a questão quer que a gente utilize um “diagrama em árvore” para exibir a derivada dessa função pela regra da cadeia.

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. O “diagrama em árvore”, de um jeito prático, consiste em derivar a função de “fora” primeiro e depois seguir com as funções “internas”.

Passo 2

Para uma variável, por exemplo, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função w = f ( x , y , z ) , onde x , y e z são funções de duas variáveis s e t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ t

Agora vamos aplicar isso para o caso da função dada no enunciado.

Passo 3

Assim, se temos uma função t = f u , v , w , onde   u = u p , q , r , s ,     v = v p , q , r , s ,         w = w ( p , q , r , s )

∂ t ∂ p =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ p +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ p +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ p

∂ t ∂ q =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ q +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ q +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ q

∂ t ∂ r =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ r +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ r +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ r

∂ t ∂ s =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ s

Resposta

∂ t ∂ p =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ p +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ p +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ p

∂ t ∂ q =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ q +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ q +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ q

∂ t ∂ r =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ r +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ r +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ r

∂ t ∂ s =   ∂ t ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s +   ∂ t ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s +   ∂ t ∂ w ⋅ ∂ w ∂ s

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