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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 11

Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t

z = e r cos ⁡ θ

r = s t

θ = s 2 + t 2

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Dada a função

z = e r ⋅ c o s θ

com

r = s t

e

θ = s ² + t ²

devemos determinar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

Para isso, devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y .

Isto é, ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t serão obtidos a partir da soma das derivadas parciais.

Veja:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ r ∂ r ∂ s + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s

e

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

Passo 2

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Portanto:

Vamos encontrar primeiro:

∂ z ∂ r

z = e r ⋅ c o s θ

Então temos:

z r = e r cos ⁡ θ

Agora a gente vai encontrar:

∂ r ∂ s

Temos que:

r = s t

Então a gente tem:

r s = t

Agora a gente pode ir para:

∂ z ∂ θ

z = e r ⋅ c o s θ

Aqui a gente tem:

z θ = e r - sin ⁡ θ

Agora a gente vai calcular:

∂ θ ∂ s

θ = s ² + t ²

Então para isso iremos utilizar a regra da cadeia:

θ s = g s ' s 2 + t 2 '

θ s = 1 2 s 2 + t 2 2 s

Montando tudo, a gente tem:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ r ∂ r ∂ s + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ s

∂ z ∂ s = e r cos ⁡ θ ⋅ t -   e r s e n θ ⋅ s s 2 + t 2

Passo 3

Agora a gente vai calcular:

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

Para essa, a gente precisa apenas encontrar as derivadas parciais em relação a t das parametrizações:

∂ r ∂ t

r = s t

Temos então:

r t = s

Agora iremos calcular:

∂ θ ∂ t

Vamos então:

θ = s ² + t ²

Então para isso iremos utilizar a regra da cadeia:

θ t = g t ' s 2 + t 2 '

θ t = 1 2 s 2 + t 2 2 t

Montando tudo, a gente tem:

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ r ∂ r ∂ t + ∂ z ∂ θ ∂ θ ∂ t

Temos:

∂ z ∂ t =   e r ⋅ c o s θ ⋅ s -   e r s e n θ ⋅ t s 2 + t 2

Resposta

∂ z ∂ s = e r cos ⁡ θ ⋅ t -   e r s e n θ ⋅ s s 2 + t 2

∂ z ∂ t =   e r ⋅ c o s θ ⋅ s -   e r s e n θ ⋅ t s 2 + t 2

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