Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 26
Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Quando
Passo 1
Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade?
Dada a função:
Queremos encontrar:
As derivadas parciais de , sendo que possui as seguintes parametrizações:
A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de
funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.
Para se encontrar o diferencial devemos utilizar da seguinte relação:
E para:
E para :
Veja que teremos que calcular várias derivadas parciais aqui. E para o nosso caso, como temos uma função composta, deveremos ainda aplicar a regra da cadeia para a nossa função.
Passo 2
Seja a função onde
Vamos começar encontrando :
Derivando em relação a :
Vamos agora encontrar :
Derivando em relação a precisamos utilizar a regra da cadeia:
Agora a gente vai derivar para encontrar :
Então a gente deriva em relação a , aqui também iremos precisa derivar com a regra da cadeia:
Agora a gente vai atrás das derivadas parciais das parametrizações.
Passo 3
Então a gente vai começar derivando as parametrizações em relação a :
Primeiro :
Agora :
E agora iremos encontrar :
Agora podemos encontrar :
Substituindo:
Passo 4
Agora precisamos calcular as derivadas parciais das parametrizações em relação a :
Encontrando :
Agora iremos encontrar :
E agora por último iremos encontrar :
Então podemos construir :
Temos então:
Passo 5
Agora iremos encontrar , para isso falta apenas encontrarmos as derivadas parciais das parametrizações em relação a :
Primeiro iremos encontrar :
Derivando em relação a :
Agora iremos encontrar :
E por ultimo :
Agora é montar :
Passo 6
Uma vez dados os valores das variáveis, podemos calcular o valor das derivadas parciais.
Temos que o valor das parametrizações serão:
Assim:
Resposta