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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 27

27 – 30 Utilize a Equação 6 para determinar d y / d x .

27 –

x y = 1 + x 2 y

Passo 1

Faaaala galera! Tudo certo?

A questão nos dá a equação

x y = 1 + x 2 y

e pede a derivada d y / d x através da equação 6, que é

d y d x =   - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

onde F x , y = 1 + x 2 y - x y .

Portanto, nosso trabalho se resume a calcular as derivadas parciais de F , F x   e F y   e substituir na expressão acima.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

Sendo F x , y dada por

F x , y = 1 + x ² y - x y

As derivadas parciais ficam

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x 1 + x 2 y - x y

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ( x 2 y ) - ∂ ∂ x x y  

Agora derivamos cada termo com relação a x :

∂ F ∂ x = 2 x y - 1 2 x y ∂ ∂ x ( x y )

que resulta em:

∂ F ∂ x = 2 x y -   1 2 x y ⋅ y

Agora derivamos F com relação a y :  

∂ F ∂ y = ∂ ∂ y 1 + x 2 y - x y

∂ F ∂ y =   ∂ ∂ y ( x 2 y ) - ∂ ∂ y x y  

Derivando cada termo, obteremos:

∂ F ∂ y = x 2 - 1 2 x y ⋅ x

Passo 3

Finalmente, podemos substituir na equação 6:

d y d x =   - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

d y d x =   - 2 x y -   1 2 x y .   y x 2 -   1 2 x y .   x

Vamos usar o sinal negativo para inverter o sinal dos termos do numerador:

d y d x = - 2 x y + 1 2 x y .   y x 2 -   1 2 x y .   x

Realizando o MMC, podemos juntar os termos do numerador e denominador dessa fração gigante.

d y d x =   - 4 x y x y + y 2 x y 2 x 2 x y - x 2 x y

Agora usaremos a regrinha de divisão de frações:

d y d x =   - 4 x y x y + y 2 x y ⋅ 2 x y 2 x 2 x y - x

E obtemos

d y d x = - 4 x y x y + y 2 x 2 x y - x

Resposta

d y d x = - 4 x y x y + y 2 x 2 x y - x

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