27 – 30 Utilize a Equação 6 para determinar dy/dx .

30 –

sen(x) + cos(y) = sen(x) * cos(y)

Passo 1

Faaaala galera! Tudo certo?

A questão nos dá a equação

sen ⁡ x + cos ⁡ y = sen ⁡ x   cos ⁡ y  

e pede a derivada d y / d x através da equação 6, que é

d y d x =   - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

onde F x , y = sen ⁡ x + cos ⁡ y - sen ⁡ x   cos ⁡ y  

Portanto, nosso trabalho se resume a calcular as derivadas parciais de F , F x   e F y   e substituir na expressão acima.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

Sendo F x , y dada por

F x , y = sen ⁡ x + cos ⁡ y - sen ⁡ x   cos ⁡ y  

As derivadas parciais ficam

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ x + cos ⁡ y - sen ⁡ x   cos ⁡ y  

e

∂ F ∂ x = cos ⁡ x - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

∂ F ∂ x = cos ⁡ x ( 1 - cos ⁡ y )  

Agora derivamos F com respeito a y :

∂ F ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ x + cos ⁡ y - sen ⁡ x   cos ⁡ y  

∂ F ∂ y = - sen ⁡ y + sen ⁡ x sen ⁡ y

Logo,

∂ F ∂ y = sen ⁡   y   ( sen ⁡ x - 1 )

Passo 3

Finalmente, podemos substituir na equação 6:

d y d x =   - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

Portanto,

d y d x =   - cos ⁡ x   ( 1 - cos ⁡ y )   sen ⁡   y   ( sen ⁡ x - 1 )

Resposta

d y d x =   - cos ⁡ x   ( 1 - cos ⁡ y )   sen ⁡   y   ( sen ⁡ x - 1 )

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