Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 47
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Falaaa aeee, vamos para mais uma questão?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Domínio
Nossa função é a seguinte:
Como temos um logaritmo, ele só existe se o argumento dele for maior que zero, portanto precisamos que:
Dessa forma, como é uma função periódica que varia entre , então nossa função está definida em todos os valores de exceto quando , que ocorre em
Ou seja, o seno zera quando , sendo um número inteiro.
Portanto, o domínio da nossa função são todos os valores reais exceto os múltiplos de .
Passo 3
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre em .
Como não pertence ao domínio da função, não há interseção com o eixo .
No eixo , a interseção ocorre quando
Para que isso seja verdade é preciso que
Portanto,
Assim, ocorre interseção no eixo em , que são todos os valores em que e com sendo um número inteiro.
Passo 4
Simetria
Temos que
E se fizermos
Como a função seno é uma função par, temos que:
Portanto,
E assim temos que:
Portanto a função possui simetria ao redor do eixo .
Passo 5
Assíntotas
Primeiro vamos olhar para as assíntotas horizontais, vendo o limite quando .
Como a função é uma função periódica, ela não possui limite quando tende a infinito, portanto
Da mesma forma,
Sendo assim, o gráfico não possui assíntotas horizontais.
Com relação a assíntotas verticais, vamos olhar para o limite no ponto onde a função possui descontinuidade.
Dessa forma, a função tende para mais infinito quando tende para
Dessa forma, em , temos uma assíntota vertical.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos uma regra da cadeia com 3 funções.
Aqui, para fazer o estudo de sinais dessa derivada, temos que saber em quais intervalos o cosseno e o seno são positivos e negativos. O logaritmo natural com um argumento menor que é sempre negativo
No primeiro quadrante (), seno e cosseno são positivos e portanto .
No segundo quadrante (), seno é positivo, cosseno é negativo e portanto .
No terceiro quadrante (), seno e cosseno são negativos, portanto .
No quarto quadrante (), cosseno é positivo, seno é negativo e portanto .
Sendo assim, a função está decrescendo no primeiro e terceiro quadrante () .
E a função está crescendo no segundo e quarto quadrante ().
E isso se repete a cada intervalo de .
Uma outra forma de escrever isso é:
A função está decrescendo em () e está crescendo em ().
Passo 7
Valores de máximo e mínimo locais
A função possui pontos críticos em .
Como a função decresce antes de e cresce depois de , então esses são pontos de mínimo local.
Assim, em temos um ponto de mínimo local e a função não possui valor de máximo local.
Passo 8
Concavidade e ponto de inflexão
Reescrevendo a primeira derivada para facilitar as contas
Podemos usar a regra do produto:
(ali eu usei a derivada tabelada da cotangente que é ).
Dessa forma, temos:
Colocando o seno ao quadrado em evidência, temos:
Avaliando os sinais, temos que:
Como vimos no Passo 7.
Portanto,
E o denominador também é sempre positivo:
Portanto, temos que a segunda derivada é sempre positiva:
Para todos os valores de , temos positivo. Então, nossa função possui a concavidade para cima em todos os pontos do domínio.
Passo 9
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Resposta
