Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 5
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.
Passo 1
Falaa, pessoal!
Essa questão pede pra gente achar a série de potência dessa função, usando a série binomial. Além disso, vamos encontrar o raio de convergência.
Então vamos lembrar como é a série binomial:
A primeira coisa que a gente vai precisar fazer é reescrever para alguma coisa parecida com essa função da série binomial. Assim, conseguimos achar uma série derivada da binominal para a função .
Depois, vamos expandir a binomial que acharmos, para achar um padrão e conseguir escrever a série que queremos.
Por último, usamos o teste da razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Começamos reescrevendo a função do enunciado:
Vamos comparar essa função com a função da série binomial:
No lugar do , na nossa função aparece um , e no expoente em vez de , temos , então fazendo essas mudanças a série fica assim:
Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.
Passo 3
O termo binomial é, para :
E para ,
Então vamos calcular os binomiais para a nossa série, reescrevendo um termo genérico:
Se a gente reescrever cada termo que está sendo multiplicado no numerador, para ficar com denominador , fica assim:
Como são termos sendo multiplicados, todos com denominador , esse produto vai ter denominador :
Podemos juntar e no denominador, e resolver as contas no numerador:
Percebe que para valores de , o termo é um numerado negativo, então vamos reescrever assim:
Agora a gente pode juntar esses sinais de “” que aparecem em cada termo... como são termos, e ele aparece em todos menos no primeiro (), vão ser vezes um sinal de negativo, que é a mesma coisa que multiplicar por vezes:
Como usamos a condição de , esse vai ser o termo geral para :
Agora para os valores menores que , vamos fazer manualmente.
Para :
Para :
Passo 4
Nossa série fica assim:
Substituindo os valores que calculamos:
Dentro do somatório, podemos separar o :
Substituindo e , e juntando :
Só que como é sempre ímpar, , e podemos tirar esse do somatório. Além disso, o e o juntam como :
E esta é a nossa série.
Passo 5
Pra achar o raio de convergência, a gente usa o teste da razão: para uma série , calculamos:
E a série vai convergir para .
Para nossa série,
Então, vamos calcular:
Juntando os termos parecidos, conseguimos simplificar:
Portanto, calculamos
Resolvendo o limite:
Pelo teste da razão, a série converge para
Desta forma, o raio de convergência é .