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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 45

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x ,   ( e r r o < 10 - 8 )

Passo 1

Vamos lá! Nosso primeiro passo é escrever qual é a série que representa o nosso integrando. Somente após isto é que poderemos integrar esta série em si.

Ao invés de escrevermos a série que representa a nossa função, vamos obter a série de Maclaurin que representa a função 1 / x + 1 . Depois, no lugar de x , colocaremos x 3 e assim obteremos a nossa série!

E a partir do momento que conseguirmos expressar a nossa função através de uma série, podemos integrar os termos, obtendo o resultado que desejamos!

Passo 2

Conforme descrito no passo anterior, vamos começar derivando a nossa função e depois aplicando o valor de x = 0 . Então, vamos as contas!

f x = 1 x + 1 ⟹ f 0 = 1

f ' x = - 1 2 x + 1 3 2 ⟹ f ' 0 = - 1 2

f ' ' x = 3 4 x + 1 5 2 ⟹ f ' ' 0 = 3 4

f 3 x = - 15 8 x + 1 7 2 ⟹ f 3 0 = - 15 8

f 4 x = 15 16 x + 1 9 2 ⟹ f 4 0 = 105 16

Portanto, nossa série será

f x = 1 x + 1 = 1 0 ! x 0 - 1 1 ! ⋅ 2 x 1 + 3 2 ! ⋅ 4 x 2 - 15 3 ! ⋅ 8 x 3 + 1 0 5 4 ! ⋅ 16 x 4 + …

f x = 1 x + 1 = 1 - x 2 + 3 x 2 8 - 5 x 3 16 + 3 5 x 4 128 + …

f x = 1 x + 1 = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! x n

Substituindo o valor de x por x 3 , obtemos:

f x = 1 x 3 + 1 = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! x 3 n

E essa é a série que precisamos integrar!

Passo 3

Agora que conseguimos determinar a série da nossa função, podemos integra-la! Sendo assim,

∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x = ∫ 0 0,1 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! x 3 n d x

∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x = x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! ⋅ 3 n + 1 x 3 n + 1 0 0,1

∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x = 0,1 - 0,1 4 8 + 3 ⋅ 0,1 7 8 ⋅ 7 - 15 ⋅ 0,1 10 8 ⋅ 6 ⋅ 10 + …

Entretanto, como queremos que o erro seja menor que 10 - 8 , podemos truncar a nossa série no segundo termo, pois, a partir do teorema da estimativa da série alternada nos diz que o erro é menor que:

3 ⋅ 0,1 7 8 ⋅ 7 = 3 ⋅ 0,1 7 56 < 10 - 8

Portanto, a nossa integral é:

∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x = 0,9999875 0

Resposta

∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x = 0,99998750

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