Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.

Nosso primeiro passo é reescrever a função do enunciado como alguma coisa parecida com a série binomial:

Esse precisa virar um , pra ficar parecido com a função , então vamos colocar em evidência:

Como , temos que

Vamos comparar com a função da série binomial:

No lugar do , na nossa função aparece um , e no expoente em vez de , temos , então fazendo essas mudanças a série fica assim:

Agora, vamos analisar esse coeficiente binomial.

A gente pode calcular o termo binominal assim:

Para :

E para ,

Para a nossa série, um termo genérico fica:

Vamos reescrever cada termo do numerador, pra ficarem frações com denominador :

Agora temos termos multiplicados, todos com denominador , então o produto deles vai ter denominador :

Juntando e no denominador e resolvendo as contas:

Percebe que como , o termo é um número negativo, então vamos reescrever assim:

Como todos os termos no numerados são negativos, vamos juntar todos esses sinais com :

Então o termo geral do coeficiente binomial fica:

Isso vale para . Já para :

Sendo assim, a nossa série é

Vamos abrir o somatório:

Substituindo os valores que calculamos:

Fazendo a distributiva do e abrindo o termo :

Podemos juntar os termos . Como é sempre positivo, esse termo vai dar . Além disso, juntamos com no denominador:

Nossa série fica assim!

Para obtermos o raio de convergência podemos utilizar o teste da razão: para uma série , calculamos:

E a série vai convergir para .

Para nossa série,

Sendo assim,

Podemos juntar os termos parecidos para simplificar:

Portanto,

Resolvendo o limite:

Pelo teste da razão, a série converge para

Desta forma, o raio de convergência é .