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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

6. f x = 1 x + 2 ,   a = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Temos f x = 1 x + 2 e devemos construir os três primeiros polinômios de Taylor centrados em a = 0 . Primeiro, vamos encontrar as três primeiras derivadas da seguinte forma:

f x = 1 x + 2 → f 0 = 1 2

f ' x = - 1 x + 2 2 → f ' 0 = - 1 0 + 2 2 = - 1 4

f ' ' x = 2 ( x + 2 ) 3 → f ' ' 0 = 2 ( 0 + 2 ) 3 = 2 8 = 1 4

f ' ' ' x = - 6 ( x + 2 ) 4 → f ' ' ' 0 = - 6 ( 0 + 2 ) 4 = - 3 8

Passo 2

Podemos agora construir os primeiros polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 da seguinte maneira:

Para o polinômio de ordem 0, obtemos que

P 0 x = f 0 = 1 2

Para o polinômio de ordem 1

P 1 x = f 0 + f ' 0 1 ! x - 0 1

Desenvolvendo um pouco mais os termos,

P 1 x = 1 2 + - 1 / 4 1 ! x 1 = 1 2 - 1 4 x

Passo 3

Já para o polinômio de ordem 2

P 2 x = f 0 + f ' 0 1 ! x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2

Substituindo os termos

P 2 x = 1 2 + - 1 / 4 1 ! x 1 + 1 / 4 2 ! x 2

Que nos fornece de resultado

P 2 x = 1 2 - 1 4 x - 1 8 x 2

E para o polinômio de ordem 3

P 3 x = f 0 + f ' 0 1 ! x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3

E com isso,

P 3 x = 1 2 + - 1 4 1 ! x - 0 1 + 1 4 2 ! x - 0 2 + - 3 8 3 ! x - 0 3

Portanto, nós temos o seguinte resultado

P 3 x = 1 2 - 1 4 x + 1 8 x 2 - 1 16 x 3

Resposta

P 0 x = 1 2

P 1 x = 1 2 - 1 4 x

P 2 x = 1 2 - 1 4 x + 1 8 x 2

P 3 x = 1 2 - 1 4 x + 1 8 x 2 - 1 16 x 3

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