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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 13

  1. Expanda 1 + x 3 como uma série de potências.
  2. Use a parte a) para estimar 1,01 3 com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 + x 3 = 1 + x 1 / 3

Agora, vamos substituir o valor k = 1 / 3 na série.

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n x n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

1 3 0 = 1

1 3 1 = 1 3 1 = 1 3

1 3 2 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 2 = - 1 ⋅ 2 3 2 ⋅ 2 ⋅ 1

1 3 3 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 ⋅ 1 3 - 2 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 ⋅ 5 3 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

1 3 4 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 1 3 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 8 3 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

1 3 5 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 1 3 - 3 ⋅ 1 3 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 3 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Portanto, o padrão para n ≥ 2 é:

1 3 n = - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n x n = 1 + x 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! x n

f x = 1 + x 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! x n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).

Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???

Vamos comparar a nossa função com o valor que queremos calcular:

1 + x 3 = 1,01 3

1 + x = 1,01

x = 0,01

Então, se colocarmos o valor de x = 0,01 na nossa série, vamos ter o valor dessa raiz! Sendo assim,

f 0,01 = 1 + 0,01 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! 0,01 n

f 0,01 = 1 + 0,01 3 - 0,01 2 9 + 5 ⋅ 0,01 3 81 - 10 ⋅ 0,01 4 243 + …

Pronto! Temos uma série que expresse o nosso valor. Mas até que termo temos que somar? O segundo? O quinto? O termo de ordem 27345?

A resposta para essa pergunta está na precisão que estamos buscando. E para isto vamos utilizar o teorema da estimativa de séries alternadas. Ele nos diz que o resíduo é dado por

R n = s - s n ≤ b n + 1

Calculando o termo de ordem 2, temos:

b 2 = 0,01 2 9 = 1,11 ⋅ 10 - 5

Portanto,

R 1 = s - s 1 ≤ b 2 = 0,0000111

E assim, temos uma precisão de 4 casas decimais! Se truncarmos a série no termo de ordem 1, o valor da nossa raiz será:

f 0,01 = 0,01 3 = 1 + 0,01 3 = 1,0033

Resposta

  1. f x = 1 + x 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! x n

0,01 3 = 1,0033

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