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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 8

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.

f x = x 2 2 + x

Passo 1

Fala ai, beleza?? Vamos ver essa questão:

A gente precisa expandir a série de potência dessa função f x a partir da série binomial:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Quando a gente fazer isso, vamos precisar expandir os coeficientes binomiais, para achar um padrão.

A última coisa vai ser usar o teste da razão (ou da raiz) para achar o raio de convergência da série.

Passo 2

Nossa primeira tarefa é reescrever a função f para ficar alguma coisa parecida com a função 1 + x k :

f x = x 2 2 + x = x 2 ⋅ 2 + x - 1 / 2 =

= x 2 ⋅ 2 ∙ 1 + x 2   - 1 / 2 = x 2 2 ∙ 1 + x 2 - 1 / 2

Agora, vamos substituir os valores k = - 1 / 2 e no lugar de x colocar x / 2 na série.

f x = x 2 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 3

Vamos começar a expandir o termo binomial:

- 1 2 0 = 1

- 1 2 1 = - 1 2 1 = - 1 2

- 1 2 2 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 2 = 1 ⋅ 3 2 2 ⋅ 2

- 1 2 3 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 4 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

- 1 2 5 = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - 3 ⋅ - 1 2 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Podemos ver os padrões:

  1. Os termos com n par são positivos e n ímpar são negativos, então vai aparecer - 1 n
  2. Os numeradores são os produtos de números ímpares, até ( 2 n - 1 )
  3. Os denominadores têm um termo 2 n multiplicado por um termo n !

Portanto, o padrão para n ≥ 1 é:

- 1 2 n = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n !

Para n < 1 :

n = 0 ⇒ - 1 2 0 ∙ x 2 n = 1

Sendo assim, a nossa série é

f x = x 2 2   ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n = x 2 2 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n ⋅ n ! x 2 n =

= x 2 2 + x 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 2 n ⋅ n ! ⋅ x n 2 n

f x = x 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 2 n + 1 2 ⋅ n ! x n + 2

E esta é a nossa série!

Passo 4

Para obtermos o raio de convergência podemos utilizar o teste da razão. Sendo assim,

a n + 1 a n = - 1 n + 1 ∙ 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1 ∙ x n + 3 2 2 n + 5 / 2 ⋅ n + 1 ! ⋅ 2 2 n + 1 / 2 ⋅ n ! - 1 n ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x n + 2

= 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ∙ x n + 3 x n + 2 ⋅ 2 2 n + 5 / 2 2 2 n + 5 / 2 ∙ n ! n + 1 ! =

= 2 n + 1 ⋅ x 2 2 ⋅ n + 1

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ⋅ x 2 2 ⋅ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 x 4 = 2 x 4 = x 2

Pelo teste da razão, a série converge para

x 2 < 1 ⇒ x < 1

Desta forma, o raio de convergência é R = 2 .

Resposta

f x = x 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 2 n + 1 2 ⋅ n ! x n + 2

R = 2

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