Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f(x) = x * t * g^(-1)(x)

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Para encontrar a série de Maclaurin da função f x = x   t g - 1 x , precisamos primeiro lembrar a série de Maclaurin para a função t g - 1 x . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em x = 0 .

A série de Maclaurin para t g - 1 x é bem conhecida e podemos escrevê-la como:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Nosso objetivo é usar essa série para encontrar a série de Macalurin da função x ⋅ t g - 1 x .

Passo 2

Vamos usar a série de t g - 1 x para encontrar a série de x ⋅ t g - 1 x .

t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Para isso, multiplicamos x pela série que acabamos de encontrar:

x ⋅ t g - 1 x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Distribuindo x dentro da série:

x ⋅ t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x . x 2 n + 1 2 n + 1

Simplificando a expressão:

x ⋅ t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x . x 2 n + 2 2 n + 1

E pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = x ⋅ t g - 1 x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 1

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