Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 40
Avalie a integral indefinida como uma série infinita.
40.
Passo 1
Fala, galera! Tudo beleza?
A questão jogou pra gente uma integral indefinida e quer que a gente analise ela como uma série infinita. Moleza, né?
Vamos lá! Nosso primeiro passo é escrever qual é a série que representa o nosso integrando. Somente após isto é que poderemos integrar esta série em si.
Então... vamos começar relembrando qual a série para a função . Temos então a seguinte série:
Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema. Para isto, precisamos dividir a função por . Portanto,
Na divisão de frações, invertemos o denominador multiplicando-o:
No numerador, iremos abrir aquele expoente e sua base, para depois cancelar os termos:
Assim,
Pronto, conseguimos uma série que representa nosso integrando!
Passo 2
Nosso passo agora é integrar esta série. Como podemos integrar diretamente o termo dentro da série, temos:
Pronto! Conseguimos avaliar nossa integral como uma série indefinida!
Percebam que a gente poderia ter expandido a série, integrado termo a termo e só depois reescrito todos os termos através de um somatório só. Mas aí seria trabalho extra!