Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 32
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Salve, pessoal! Tudo show?
Vamos começar relembrando nossa série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde onde uma função é representada como uma soma infinita de termos (que já sabemos que nada mais é que uma série) calculados a partir de suas derivadas em zero:
A tabela 1 do nosso livro traz algumas séries de Maclaurin importantes e que são comuns, então o autor compilou e deixou separado pra gente. Nessa tabela temos a função e sua série de Maclaurin correspondente e também já traz o valor do Raio de convergência.
Nesse caso a questão pede para obtermos essa série da função:
Na tabela já está pronta a série de Maclaurin para mas aqui temos uma soma e vamos precisar dela para também.
Vamos lá para a solução!
Passo 2
Olhando a tabela 1, já temos prontinha a forma de Maclaurin para
Mas nós também queremos a série de Maclaurin para , então é só substituirmos por e multiplicar por na série acima. Como 2 é constante, podemos tirar para fora da soma:
Somando as duas, vamos ter:
Isolando o termo que vai alternar o sinal da série:
Podemos juntar as duas séries colocando em evidencia. Nossa série de Maclaurin para é: