Enunciado

Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.

f x = e x + 2 e - x

Passo 1

Salve, pessoal! Tudo show?

Vamos começar relembrando nossa série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde a = 0 onde uma função é representada como uma soma infinita de termos (que já sabemos que nada mais é que uma série) calculados a partir de suas derivadas em zero:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + …

A tabela 1 do nosso livro traz algumas séries de Maclaurin importantes e que são comuns, então o autor compilou e deixou separado pra gente. Nessa tabela temos a função e sua série de Maclaurin correspondente e também já traz o valor do Raio de convergência.

Nesse caso a questão pede para obtermos essa série da função:

f x = e x + 2 e - x

Na tabela já está pronta a série de Maclaurin para   e x mas aqui temos uma soma e vamos precisar dela para   2 e - x também.

Vamos lá para a solução!

Passo 2

Olhando a tabela 1, já temos prontinha a forma de Maclaurin para e x

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Mas nós também queremos a série de Maclaurin para 2 e - x , então é só substituirmos x por - x e multiplicar por 2 na série acima. Como 2 é constante, podemos tirar para fora da soma:

2 e - x = 2 ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n n !

Somando as duas, vamos ter:

f x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + 2 ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n n !

Isolando o termo ( - 1 ) n   que vai alternar o sinal da série:

∑ n = 0 ∞ x n n ! + 2 ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n n !

Podemos juntar as duas séries colocando x n / n ! em evidencia. Nossa série de Maclaurin para f ( x ) é:

f x = e x + 2 e - x = ∑ n = 0 ∞ ( 1 + 2 ( - 1 ) n ) x n n !

Resposta

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 + 2 ( - 1 ) n ) x n n !

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