Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se

f n 4 = - 1 n n ! 3 n n + 1

Qual é o raio de convergência da série de Taylor?

Passo 1

Como o formato da série de Taylor é

∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Basta substituirmos a derivada, então

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 3 n n + 1 n ! x - 4 n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n n + 1 x - 4 n

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 4 n + 1 3 n + 1 n + 2 ⋅ 3 n n + 1 - 1 n x - 4 n = lim n → ∞ ⁡ - ( x - 4 ) 3 ⋅ n + 1 n + 2

= - x - 4 3 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 = - x - 4 3

Para convergir

- x - 4 3 < 1

- x - 4 < 3

Então seu raio é R = 3 .

Repare que, apesar de dentro do módulo ter um - 1 multiplicando ( x - 4 ) , o raio de convergência não muda.

- 3 < - x - 4 < 3

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n n + 1 x - 4 n

R = 3

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