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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 41

Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.

f x = x 2 2 + x

Passo 1

Fala povo, tudo certo? A questão pede pra gente olhar a tabela, né não? Bom então vamos olhar né, mandou a gente obedece:

O que a gente tem que fazer é olhar nessa tabela no lado esquerdo (o lado sem somatório) e ver se existe alguma lei de formação parecida com a do nosso enunciado:

f x = x 2 2 + x

Bem, olhando pra tabela da pra ver que podemos excluir todas as funções trigonométricas e aquele e x . O que talvez mais se pareça seria a série binomial:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Nos próximos passos o que vamos fazer é mexer o suficiente nessa equação pra que o lado esquerdo fique igualzinho a nossa f x ! Partiu!

Passo 2

Para isso, primeiro vamos reescrever a função como:

f x = x 2 2 + x = x 2 ∙ 1 2 + x

f x = x 2 ∙ 2 + x - 1 = x 2 ∙ 2 + x 1 2 - 1

f x = x 2 ∙ 2 + x 1 2 ∙ - 1 = x 2 ∙ 2 + x - 1 2

Colocando 2 em evidencia e tirando do parênteses, fica desse jeito

f x = x 2 ∙ 2 + x - 1 2 = x 2 ∙ 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2

f x = x 2 ∙ 2 + x - 1 2 = x 2 ∙ 2 - 1 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2

f x = x 2 2 1 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2 = x 2 2 1 + x 2 - 1 2

Confia em mim, próximo passo vamos ver porque reescrever isso:

f x = x 2 2 + x

Pra essa coisa feia aqui:

f x = x 2 2 1 + x 2 - 1 2

É uma boa ideia!

Passo 3

Pra começar vamos olhar f x e a série binomial uma do lado da outra:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

f x = x 2 2 1 + x 2 - 1 2

Ambas tem um polinômio de primeiro grau de x elevado a uma constante. Se a primeira ta elevada a k e a segunda tá elevada a - 1 2 , temos que:

k = - 1 2

E logo:

1 + x - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x n

O interior desse polinômio não é exatamente x e sim x 2 ! Portanto, fazendo dos dois lados a substituição:

x → x 2

Ficamos com:

1 + x 2 - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x 2 n

1 + x 2 - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n 2 n

Nossa função f x tem um termo de x 2 pendurado do lado de fora disso tudo! Então podemos multiplicar os dois lados por x 2 :

x 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2 = x 2 ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n 2 n

x 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n + 2 2 n

E por fim, dividimos tudo por 2 , ficando com:

x 2 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2 = 1 2 ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n + 2 2 n

x 2 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2 = 1 2 1 2 ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n + 2 2 n

x 2 2 ∙ 1 + x 2 - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n + 2 2 n + 1 2

Como o lado esquerdo ficou exatamente idêntico a nossa f x , fechamos nossa questão:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n + 2 2 n + 1 2

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n ∙ x n + 2 2 n + 1 2

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