Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 41

Encontre a série de Maclaurin de (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e ?

Passo 1

E aí, gente! Tudo beleza?

A questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de :

Aqui temos uma multiplicação de duas funções, então vamos precisar achar duas séries de Maclaurin e multiplica-las.

Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:

Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.

Acontece que geralmente precisamos ter esse trabalho todo com séries de Taylor centradas em outros valores de . Para , temos as séries de Maclaurin e já temos essas séries tabeladas e prontas na teoria do nosso livro, inclusive com seus raios de convergência .

Nesse caso aqui, embora o livro traga que o raio de convergência de nossa função tem mais termos multiplicando a função exponencial (), então vamos precisar calcular o . Achar esse valor é achar para quais valores de nossa série converge. E para isso vamos usar o Teste da Razão, que facilita bastante nossos processos quando temos termos fatoriais, que é o caso da série de Maclaurin. Relembrando o Teste da Razão: calculamos o limite:

Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.

Por fim a questão pede para traçarmos os polinômios de Taylor da série, que nada mais são que os próprios termos da série, que são do formato de polinômios de .

Traçamos esses polinômios e a nossa função e observamos o comportamento dessas curvas.

Bora resolver isso!

Passo 2

Olhando na nossa teoria (Tabela 11 da sessão 11.10), sabemos que a série de Maclaurin para é:

Então, se substituirmos por na série da exponencial, vamos encontrar:

Mas ainda não é o que queremos, queremos . Resolvemos isso multiplicando por a série de Maclaurin para que acabamos de achar lá em cima, e assim nossa série final fica sendo:

Passo 3

Agora precisamos encontrar o raio de convergência da nossa série:

e para isso vamos usar o teste da razão. Teremos:

E fazendo :

Aplicando o teste da razão, já vamos expressão a divisão de frações como a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:

Para simplificar nosso termo dentro do limite, vamos abrir as somas nos expoentes com a propriedade da potenciação:

Simplificando os termos iguais que estão sendo divididos:

Agora podemos eliminar os termos exponenciais, abrindo-os:

Novamente simplificando, já podemos também retirar os termos que não dependem do de dentro do módulo, sendo que vai sair positivo. Mantemos o módulo no :

O teste da razão diz que a série converge quando . No caso temos: sempre.

E o raio de convergência? Como e então o raio de convergência é , já que não temos restrições para os valores que pode assumir. 😉

Passo 4

O enunciado pede para traçarmos e os primeiros polinômios de Taylor () que são nada mais que você pegar a série somente até um certo termo, então os primeiros polinômios são

E assim podemos continuar até onde quisermos.

Passo 5

Traçando e os primeiros polinômios de Taylor

Podemos ver na esquerda do eixo , não conseguimos ver muita diferença, mas na direita, a cada polinômio com maior, o polinômio tende a se aproximar mais do valor da função.

Em vermelho nós temos nossa função:

Os polinômios estão indicados na imagem. Podemos ver que quanto maior o polinômio que pegamos (maior em ), mais a curva desse polinômio se aproxima da função na origem.