Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 1
Use série de potência para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:
A derivada em relação a é:
E vamos substituir na equação diferencial:
Passo 2
A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:
Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :
E agora vamos simplificar os índices:
E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)
E podemos agora podemos substituir novamente na equação:
Passo 3
Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Todos os dois começam em , então aqui não precisamos fazer nada para ajustar. Assim podemos unir os dois termos em uma única soma:
Como , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:
Chegamos à fórmula de recorrência:
- Para :
- Para :
- Para :
Se continuarmos vamos ter sempre:
Aqui não tem muito mistério para enxergar a recorrência, é a prática que vai deixar cada vez mais fácil de você identificar o coeficiente certo =)
Passo 4
Beleza! Agora que encontramos o coeficiente podemos voltar para o passo e substituir na solução:
Como , então a solução fica:
E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função ! Então a solução final fica:
Certo! Vamos pra próxima?