Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 5

Use série de potência para resolver a equação diferencial.

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

A derivada em relação à é:

E a derivada segunda é:

E vamos substituir na equação diferencial:

E já vamos colocar para dentro do somatório o que está no segundo somatório do lado esquerdo:

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :

E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

Passo 3

Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em , e um em , então devemos colocar o primeiro termo dos que começam com para fora e assim deixar todos somatórios começando em :

Assim temos que .

E mais, como , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

Lembrando que , chegamos à fórmula de recorrência:

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para par já vimos à exemplo do exercício dessa seção:

Agora para os ímpares temos no denominador uma sequencia de multiplicações, isso indica o fatorial. Mas são apenas os números ímpares, até , então em cima temos que multiplicar por e dividir por . (dá uma conferida um por um que você vai ver que está certo ;D). Então os termos ímpares são: