Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 7
Use série de potência para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:
A derivada em relação à é:
E a derivada segunda é:
E vamos substituir na equação diferencial:
E já vamos colocar para dentro do somatório o que está no primeiro somatório do lado esquerdo:
Passo 2
A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de com potência . Então vamos arrumar o segundo somatório do lado esquerdo:
Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :
E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)
E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:
Passo 3
Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em , e um em , então devemos colocar o primeiro termo dos que começam com para fora e assim deixar todos somatórios começando em (sempre deixar com o maior índice comum a todos):
Assim temos:
Assim temos que .
E mais, como , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:
Lembrando que , chegamos à fórmula de recorrência:
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
E assim por diante. Se seguirmos vamos chegar a :
Para um dado , a solução fica (resgatando lá do passo a solução ):
Como acabamos de determinar, agora é só substituir ali (com o somatório começando em e com o termo separado tá!):
E é essa a resposta!
Vamos pra próxima?