Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

60.

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x ,   ( e r r o < 0,001 )

Passo 1

Fala, galera bonita! Tudo belê??

Olha só, nesse exercício iremos usar séries para calcular a integral com uma precisão indicada pela questão.

Estaremos analisando essa integral aqui, ó:

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x

Cuja precisão é dada por ( e r r o < 0,001 ) .

Show? Então mão na massa!

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a expressão dentro da integral como uma série de potências.

Sabemos que a representação em série de e x é igual a

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Então podemos substituir x por - x 2 , assim...

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - x 2 ) n n !

Então vamos voltar pra nossa função dentro da integral e colocar dentro desse somatório:

x 2 e - x 2 = x 2 × ∑ n = 0 ∞ ( - x 2 ) n n !

Vamos expandir dentro do nosso somatório um termo em especial:

x 2 e - x 2 = x 2 × ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ⋅ x 2 n n !

Agora multiplicando o somatório por x 2 , podemos chegar a essa expressão

x 2 e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 ⋅ ( - 1 ) n ⋅ x 2 n n !

Com bases iguais, podemos somar os expoentes, por isso teremos

x 2 e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x 2 n + 2 n !

Passo 3

Com isso, a integral é dada por:

∫ 0 0,5 - 1 n x 2 n + 3 n ! 2 n + 3 d x

Integrando, ficaremos com

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 n ! 2 n + 3 0 0,5

Resolvendo a integral definida, substituindo os limites de integração, obtemos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 0,5 ) 2 n + 3 n ! 2 n + 3

Passo 4

Expandindo a série, descobrindo os valores para n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   … , temos:

= 1 24 - 1 160 + 1 1792 - …

Somando os dois primeiros termos, temos:

1 24 - 1 160 = 0,0354

O terceiro termo possui o valor de:

1 1792 = 5,58.10 - 4

Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas:

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x = 0,0354

Resposta

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x = 0,0354

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