Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 60
Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
60.
Passo 1
Fala, galera bonita! Tudo belê??
Olha só, nesse exercício iremos usar séries para calcular a integral com uma precisão indicada pela questão.
Estaremos analisando essa integral aqui, ó:
Cuja precisão é dada por .
Show? Então mão na massa!
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a expressão dentro da integral como uma série de potências.
Sabemos que a representação em série de é igual a
Então podemos substituir por , assim...
Então vamos voltar pra nossa função dentro da integral e colocar dentro desse somatório:
Vamos expandir dentro do nosso somatório um termo em especial:
Agora multiplicando o somatório por , podemos chegar a essa expressão
Com bases iguais, podemos somar os expoentes, por isso teremos
Passo 3
Com isso, a integral é dada por:
Integrando, ficaremos com
Resolvendo a integral definida, substituindo os limites de integração, obtemos:
Passo 4
Expandindo a série, descobrindo os valores para , temos:
Somando os dois primeiros termos, temos:
O terceiro termo possui o valor de:
Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas: