Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 25
Encontre a série de Taylor para usando o valor dado . [Assuma que possui uma expansão em série de potências. Não mostre que Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo certinho?
A série de Taylor é da forma:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
Então precisamos encontrar derivando várias vezes e substituirmos no termo geral de uma série de Taylor, aquela primeira equação desse passo 1.
Por fim, quando a gente precisar encontrar o Raio de convergência, o que precisamos achar é basicamente para quais valores de nossa série vai convergir. Como a série em questão que será uma série de Taylor e já vimos ali em cima que ela vai ter um termo fatorial, vamos usar o Teste da Razão, pois simplifica bastante nossa vida nesses casos. Relembrando o Teste: Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ) e caso o teste é inconclusivo.
Bora, então?
Passo 2
O enunciado nos deu que:
E que:
Agora vamos achar os valores de:
Para cada derivada de
é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma lista. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir , neste caso .
Com , temos a própria função:
Com , temos a primeira derivada:
Com , temos a segunda derivada:
Com , temos a terceira derivada:
Com , temos a quarta derivada:
E assim sucessivamente.
Passo 3
Lembra que estamos fazer isso para encontrar , né? Agora, precisamos usar esses valores para achar um termo geral de para qualquer valor de .
Vamos escrever os termos da série, dentro daquele formato que apresentamos no passo 1. Podemos escrever usando os valores das derivadas que encontramos no passo 2, temos:
Podemos achar o padrão, de forma geral para as derivadas ímpares, os termos da série se alternam entre 1 e -1, então podemos escrever como:
E para as derivadas pares:
Vamos substituir os valores que encontramos no formato da série de Taylor:
Como as derivadas pares são nulas, vamos escrever o termo geral de modo que a gente só considere as derivadas ímpares:
Precisamos agora escrever de forma que ele só admita valores ímpares, então podemos usar:
Assim sempre vamos ter ímpar, já que os termos pares são nulos e não alteram nossa soma, podemos substituir por .
Assim, nossa série de Maclaurin para é:
Passo 4
Agora vamos aplicar o Teste da Razão para achar a convergência da série
Vamos ter:
E com :
Então já vamos escrever essa divisão de frações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:
Ufa! Quantos termos, né? Temos bastante coisa pra simplificar aqui. Vamos começar abrindo as somas de expoentes usando a propriedade: e já podemos simplificar os termos:
Simplificando os termos que se dividem:
Agora podemos abrir os termos fatoriais e simplificar:
Vamos eliminar o termo o sinal negativo de já que temos o módulo:
Tirando os termos do módulo, temos:
Passo 5
Nosso limite é . O teste da razão diz que para que a série seja convergente . Então aqui vamos precisar que
e isso é verdade para qualquer valor de .
Como não temos nenhuma restrição para o valor de na nossa série, podemos dizer que seu raio de convergência é infinito: