Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície

z = (1 + x^2) / (1 + y^2)

que está acima do quadrado |x| + |y| ≤ 1

Ilustre, traçando o gráfico dessa parte da superfície.

Passo 1

Vamos lá galerinha! Temos uma razão

z = 1 + x 2 1 + y 2

que representa uma superfície limitada por um quadrado

x + y ≤ 1

E precisamos descobrir sua área. O primeiro passo é nos lembrarmos da definição da área de uma superfície qualquer e a partir disso encontrar as derivadas parciais e os limites de integração.

Vamos lembrar que, por definição a área de uma superfície pode ser dada por

A D = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

Passo 2

Agora que já sabemos o que precisamos calcular, devemos encontrar os limites de integração:

Se: x + y ≤ 1

Então:

y ≤ 1 - x

Pela definição de módulo:

y = ± ( 1 - x )

- 1 - x ≤ y ≤   ( 1 - x )

Sendo x de - 1 a 1 .

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais temos que fazer:

∂ z ∂ x = ∂ 1 + x 2 1 + y 2 ∂ x

Utilizando a regra do quociente:

∂ 1 + x 2 1 + y 2 ∂ x = 2 x 1 + y 2 1 + y 2 2    

Simplificando:

∂ z ∂ x = 2 x 1 + y 2 2    

A derivada parcial em relação a y é:

∂ z ∂ y = ∂ 1 + x 2 1 + y 2 ∂ y

∂ 1 + x 2 1 + y 2 ∂ y = - 2 y 1 + x 2 1 + y 2 2  

Queremos calcular a área de nossa superfície. Para isso temos que

A D = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 1 - x 2 x 1 + y 2 2 + 2 y 1 + x 2 1 + y 2 2 2 + 1   d y d x

Usando um sistema de computação algébrica, temos que

A D ≈ 2.6959

Segue a baixo o Gráfico da função

Resposta

A D ≈ 2.6959

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