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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 9

Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = x 2 s e n   y   i ^ + x cos ⁡ y   j ^ - x z   s e n   y   k ^

S é a “Esfera gorda” x 8 + y 8 + z 8 = 8 .

Passo 1

Oiii galerinha, beleza!?

Precisamos verificar a veracidade do teorema do divergente para o campo F → :

F → x , y , z = x 2 s e n   y   i ^ + x cos ⁡ y   j ^ - x z   s e n   y   k ^

Na seguinte região,

S é a “Esfera gorda” x 8 + y 8 + z 8 = 8 .

Vamos antes de mais nada relembrar o Teorema do Divergente.

Seja F → um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E . Então:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F →   d V

Onde,

∇ ⋅ F → = d i v   F →

O divergente em outras palavras é escrito como a derivada parcial de F → , da seguinte forma:

d i v   F → = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Sendo que:

F → x , y , z = F x   i ^ + F y   j ^ + F z   k ^

Agora vamos colocar mão na massa!

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente:

d i v   F → = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Já sabemos que:

F → x , y , z = F x   i ^ + F y   j ^ + F z   k ^

F → x , y , z = x 2 s e n   y   i ^ + x cos ⁡ y   j ^ - x z   s e n   y   k ^

Aplicando as derivadas, vamos ter que:

∂ F x ∂ x = 2 x   s e n   y

∂ F y ∂ y =   - x   s e n   y

∂ F z ∂ z =   - x   s e n   y

Logo o divergente vale:

d i v   F → = 2 x   s e n   y - x   s e n   y - x   s e n   y

d i v   F → = 0

Funções contínuas ainda são consideradas mesmo quando analisamos o conjunto E, que é definido pelo volume de nossa "esfera gorda". O termo "gorda" não é usado de maneira pejorativa, mas sim como uma comparação com a equação da esfera tradicional.

Olhando para as derivadas calculadas no passo anterior, temos que:

d i v   F → = 0

Logo, a integral nossa integral vai ser zero.

∭ E 0   d V = 0

Assim, podemos concluir que:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E d i v   F   d V = 0

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E d i v   F   d V = 0

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