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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 18

Seja F → x , y , z = z tg - 1 ⁡ y 2 i ^ + z 3 ln ⁡ x 2 + 1 j ^ + z   k ^ . Determine o fluxo de F → através da parte do paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e está orientada para baixo.

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Pra calcular o fluxo através dessa superfície teríamos que pegar uma parametrização mega chatinha e a cara desse campo não ajuda muita coisa rs.

Então, pra facilitar, vamos usar o teorema do divergente:

∬ S F → ∙ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V

Onde E é o sólido delimitado pela superfície fechada S .

Só que o enunciado nos deu uma superfície aberta que é o paraboloide

x 2 + y 2 + z = 2 para z > 1 (acima do plano z = 1 )

Pra aplicar o teorema, temos que fechar essa superfície. Assim, se chamarmos de S a superfície do enunciado, e S 1 uma outra superfície que vai fechar ela, temos:

∬ S F → ∙ d S → + ∬ S 1 F → ∙ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V

Então o que o enunciado pede é dado por

∬ S F → ∙ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V - ∬ S 1 F → ∙ d S →

Beleza, vamos ver qual vai ser nosso passo a passo pra resolver isso:

  1. Esboçar o paraboloide e definir quem é S 1 e E
  2. Calcular o divergente, que para F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ é:

    3. div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

  3. Definir os limites de integração de E e calcular ∭ E div ⁡ F → d V
  4. Parametrizar S 1 : ϕ → u , v e calcular ∬ S 1 F → ∙ d S → :

    5. ∬ S 1 F → ∙ d S → = ∬ D F → ϕ → u , v ∙ ϕ → u × ϕ → v   d u   d v

  5. Fazer a diferença dos dois pra achar ∬ S F → ∙ d S →

Vamos com calma, passo a passo, que vai sair!

Passo 2

Bom, nosso paraboloide é assim:

Pra fechar essa superfície, vamos usar o círculo na altura de z = 1 , limitado por:

x 2 + y 2 + z = 2 z = 1

Então

x 2 + y 2 = 1

E essa é a superfície S 1 é

x 2 + y 2 ≤ 1

Já o sólido E está limitado em cima pelo paraboloide, e embaixo por esse plano z = 1 .

Uma observação importante: a orientação que o enunciado deu pra gente é pra baixo, ou seja, pra dentro do sólido!

Dessa forma, temos que considerar a integral de volume negativa (porque a orientação positiva é pra fora), e a orientação de S 1 vai ser pra cima (pra ficar também pra dentro).

Passo 3

Agora vamos ver o divergente.

Nosso campo é:

F → x , y , z = z tg - 1 ⁡ y 2 i ^ + z 3 ln ⁡ x 2 + 1 j ^ + z   k ^

Ou seja:

P =   z tg - 1 ⁡ y 2

Q = z 3 ln ⁡ x 2 + 1

R = z

Derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ =   z tg - 1 ⁡ y 2 ∂ x = 0

Derivando Q em função de y , com x , z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ z 3 ln ⁡ x 2 + 1 ∂ y = 0

Derivando R em função de z , com x , y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ z ∂ z = 1

Então:

div ⁡ F → = 1

Passo 4

O próximo passo é calcular a integral tripla.

Como o sólido E está limitado por z = 1 e x 2 + y 2 + z = 2 :

1 ≤ z ≤ 2 - x 2 - y 2

Agora, pra vermos os limites de x , y , vamos desenhar a projeção do sólido no plano x y :

Ou seja, é um círculo de raio 1 . Vamos usar coordenadas cilíndricas, e fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

Então:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

E o jacobiano dessa transformação é:

J = r

Voltando pros limites de z , como x 2 + y 2 = r 2 :

1 ≤ z ≤ 2 - r 2

E a integral fica:

∭ E div ⁡ F → d V = ∭ E 1   d V =

Percebe que os limites de integração de z dependem de r , então temos que integrar em função de z antes de r . Lembrando de incluir o jacobiano, fica:

= ∫ 0 1 ∫ 1 2 - r 2 ∫ 0 2 π r d θ d z d r

Passo 5

Vamos calcular essa integral de dentro pra fora:

∫ 0 1 ∫ 1 2 - r 2 ∫ 0 2 π r d θ d z d r =

Podemos tirar o r das duas primeiras integrais:

= ∫ 0 1 r ∫ 1 2 - r 2 ∫ 0 2 π d θ d z d r =

Integrando em função de θ , com z e r constantes:

= ∫ 0 1 r ∫ 1 2 - r 2 2 π - 0 d z d r =

= 2 π ∫ 0 1 r ∫ 1 2 - r 2 d z d r =

Agora integrando em função de z , com r constante:

= 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2 - 1 d r =

= 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r =

E finalmente integrando em função de r :

= 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 =

= 2 π 1 2 - 1 4 =

Ou seja:

∭ E div ⁡ F → d V = π 2

Passo 6

Agora vamos pra integral de S 1 . Como vimos, ela é um círculo na altura z = 1 , então podemos parametrizar como:

ϕ → r , θ = r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ , 1

Com

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Daí,

ϕ → r = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , 0

ϕ → θ = - r sen ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

E:

ϕ → r × ϕ → θ = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 = 0,0 , r

Como r > 0 , percebe que estamos com a orientação certa (pra cima).

Nosso campo é:

F → x , y , z = z tg - 1 ⁡ y 2 i ^ + z 3 ln ⁡ x 2 + 1 j ^ + z   k ^

Como vamos fazer:

F → ϕ → r , ϕ ∙ 0,0 , r

As duas primeiras coordenadas de F → vão zerar, então:

F → ϕ → r , ϕ ∙ 0,0 , r = z ∙ r

Como z = 1 :

= r

Então a integral fica:

∬ S 1 F → ∙ d S → = ∬ D r   d θ   d r =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r d θ d r

Passo 7

Essa integral pode ser dividida em duas:

∫ 0 1 ∫ 0 2 π r d θ d r = ∫ 0 1 r d r ∙ ∫ 0 2 π d θ

Resolvendo a primeira:

= r 2 2 0 1 ∙ ∫ 0 2 π d θ =

= 1 2 ∙ ∫ 0 2 π d θ

E resolvendo a segunda:

= 1 2 ∙ 2 π - 0

⇒ ∬ S 1 F → ∙ d S → = π

Passo 8

Bom, temos que:

∭ E div ⁡ F → d V = π 2

∬ S 1 F → ∙ d S → = π

Só que lembra que vamos considerar a integral de volume negativa por causa da orientação?

Então:

∬ S F → ∙ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V - ∬ S 1 F → ∙ d S →

= - π 2 - π

E chegamos no resultado:

∬ S F → ∙ d S → = - 3 π 2

Resposta

- 3 π 2

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